Duas barras cilíndricas, uma de latão (de comprimento 20 cm ) e outra de cobre (com 80 cm de comprimento), são conectadas pelas extremidades. Ambas possuem uma seção reta de 0,006 m^2 e estão bem isoladas de maneira a não perder energia através das superfícies laterais. A extremidade livre da barra de latão está imersa em água fervente enquanto a extremidade livre da barra de cobre está numa mistura de água e gelo, ambas a uma pressão atmosférica. Dados: condutividade térmica do latão: 109 W / m cdot K, condutividade térmica do cobre: 401 W / m cdot K. Qual a temperatura da extremidade na qual as duas barras estão unidas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas barras cilíndricas, uma de latão e outra de cobre, conectadas e isoladas pelas laterais. Uma extremidade da barra de latão está na água fervente e a da barra de cobre está numa mistura de água e gelo. A pergunta é: qual é a temperatura no ponto onde as duas barras estão unidas?
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de condução de calor, especificamente a Lei de Fourier, que descreve como o calor se propaga através de materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Fourier para condução de calor, que é dada por:
Q = k cdot A cdot De
Onde:
  • $ Q $ é a quantidade de calor transferida,
  • $ k $ é a condutividade térmica do material,
  • $ A $ é a área da seção transversal,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
  • $ L $ é o comprimento da barra.

Passo 3

Como as duas barras estão conectadas e isoladas pelas laterais, o calor que passa pela barra de latão deve igualar ao calor que passa pela barra de cobre. Então, podemos escrever:
klatão cdot A cdot (Tfervente - Tjunção)Llatão = kcobre cdot A cdot (Tjunção - T>=lo)Lcobre ãçããçã
Aqui:
  • $ T_{fervente} = 100,^\circC $ (água fervente),
  • $ T_{gelo} = 0,^\circC $ (mistura de água e gelo).

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Como a área $ A $ é a mesma para ambas as barras, ela cancela. Então:
A ãã
Onde $ T $ é a temperatura na junção que queremos encontrar.

Passo 5

Agora, isolamos $ T $:
T ãã
Substituindo os valores dados:
  • $ k_{latão} = 109,W/m \cdot K $,
  • $ k_{cobre} = 401,W/m \cdot K $,
  • $ L_{latão} = 0,20,m $,
  • $ L_{cobre} = 0,80,m $.
Então:
klatão cdot (100 - T) cdot Lcobre = kcobre cdot T cdot Llatão
Simplificando:
klatão = 109,W/m cdot K
kcobre = 401,W/m cdot K
Llatão = 0,20,m
Lcobre = 0,80,m

Resposta

A temperatura na junção das duas barras é de aproximadamente 52,1 °C.

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