Duas barras cilíndricas, uma de latão (de comprimento 20 cm ) e outra de cobre (com 80 cm de comprimento), são conectadas pelas extremidades. Ambas possuem uma seção reta de
e estão bem isoladas de maneira a não perder energia através das superfícies laterais. A extremidade livre da barra de latão está imersa em água fervente enquanto a extremidade livre da barra de cobre está numa mistura de água e gelo, ambas a uma pressão atmosférica. Dados: condutividade térmica do latão:
, condutividade térmica do cobre:
. Qual a temperatura da extremidade na qual as duas barras estão unidas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas barras cilíndricas, uma de latão e outra de cobre, conectadas e isoladas pelas laterais. Uma extremidade da barra de latão está na água fervente e a da barra de cobre está numa mistura de água e gelo. A pergunta é: qual é a temperatura no ponto onde as duas barras estão unidas?
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de condução de calor, especificamente a Lei de Fourier, que descreve como o calor se propaga através de materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Fourier para condução de calor, que é dada por:
Onde:
- $ Q $ é a quantidade de calor transferida,
- $ k $ é a condutividade térmica do material,
- $ A $ é a área da seção transversal,
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
- $ L $ é o comprimento da barra.
Passo 3
Como as duas barras estão conectadas e isoladas pelas laterais, o calor que passa pela barra de latão deve igualar ao calor que passa pela barra de cobre. Então, podemos escrever:
Aqui:
- $ T_{fervente} = 100,^\circC $ (água fervente),
- $ T_{gelo} = 0,^\circC $ (mistura de água e gelo).
Passo 4
Vamos simplificar a equação. Como a área $ A $ é a mesma para ambas as barras, ela cancela. Então:
Onde $ T $ é a temperatura na junção que queremos encontrar.
Passo 5
Agora, isolamos $ T $:
Substituindo os valores dados:
- $ k_{latão} = 109,W/m \cdot K $,
- $ k_{cobre} = 401,W/m \cdot K $,
- $ L_{latão} = 0,20,m $,
- $ L_{cobre} = 0,80,m $.
Então:
Simplificando:
Resposta
A temperatura na junção das duas barras é de aproximadamente 52,1 °C.