Em uma garrafa de espumante, o bolsão de gás (dióxido de carbono, principalmente) que fica entre o líquido e a rolha está a uma pressão pi=4,0 atm. Quando a rolha é removida da garrada, o gás sofre uma expansão adiabática até que sua pressão se torne igual à pressão ambiente, 1,0 atm. Se a temperatura inicial do gás é Ti=3,0^circ C, qual é a sua temperatura no fim da expansão adiabática?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre expansão adiabática de gás, especificamente dióxido de carbono (CO₂) numa garrafa de espumante. A pressão inicial do gás é de 4,0 atm e, quando tiramos a rolha, ele se expande até a pressão ambiente de 1,0 atm. A temperatura inicial é de 3,0°C. Nosso objetivo é descobrir qual vai ser a temperatura do gás após essa expansão adiabática. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, mais precisamente as relações de processos adiabáticos para gases ideais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que em uma expansão adiabática não há troca de calor com o ambiente. Isso significa que a energia interna do gás muda apenas devido ao trabalho realizado. Para relacionar a pressão e a temperatura nessa situação, usamos a seguinte fórmula:
Tf = Ti ( pfpi )^gamma - 1gamma
Aqui, $ T_f $ é a temperatura final, $ T_i $ é a temperatura inicial, $ p_f $ é a pressão final e $ p_i $ é a pressão inicial. A letra $ \gamma $ é a razão entre os calores específicos do gás a pressão constante e volume constante.

Passo 3

Agora, vamos entender cada parte dessa fórmula. A razão $ \frac{p_f}{p_i} $ representa a mudança na pressão durante a expansão. O expoente $ \frac{\gamma - 1}{\gamma} $ leva em conta as propriedades termodinâmicas do gás. Para o dióxido de carbono, que é um gás diatômico, $ \gamma $ geralmente é 1,4.
Antes de aplicar a fórmula, precisamos converter a temperatura inicial de Celsius para Kelvin, porque nas equações de termodinâmica a temperatura deve estar na escala Kelvin.
pfpi

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula:
Tf = 276,15 , K ( 1,0 , atm4,0 , atm )^1,4 - 11,4
Primeiro, calculamos a razão das pressões:
1,04,0 = 0,25
Em seguida, calculamos o expoente:
1,4 - 11,4 = 0,41,4 approx 0,2857
Agora, elevamos 0,25 a esse expoente:
0,25^0,2857 approx 0,594
Finalmente, multiplicamos pela temperatura inicial:
Tf approx 276,15 , K times 0,594 approx 164,1 , K

Resposta

A temperatura do gás após a expansão adiabática é aproximadamente -108,1 °C.

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