7a. Encontre uma matriz não-nula de tamanho tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma matriz de tamanho que seja simétrica, ou seja, que satisfaça . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes simétricas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz transposta e como garantir que uma matriz seja simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz é obtida trocando as linhas pelas colunas. Por exemplo, se temos:
Então,

Passo 3

Para que a matriz seja simétrica, ela deve ser igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos abaixo da diagonal principal devem ser iguais aos elementos correspondentes acima da diagonal. Assim, uma matriz simétrica tem a seguinte forma:
Aqui, são números reais e podem ser diferentes, mas devem satisfazer que os elementos fora da diagonal sejam iguais em relação à diagonal.

Passo 4

Agora, precisamos escolher valores para de forma que a matriz não seja a matriz nula (ou seja, não todos os elementos são zero). Vamos escolher valores simples para facilitar:

Passo 5

Com esses valores, nossa matriz simétrica fica assim:

Resposta

A matriz que satisfaz e é não-nula é:

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determine o subespaço gerado por .
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