[ll 12(e^x+e^-x) & 12(e^x-e^-x) 12(e^x-e^-x) & 12(e^x+e^-x) ]
7a. Encontre uma matriz não-nula A de tamanho 3 times 3 tal que A^T=A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma matriz de tamanho que seja simétrica, ou seja, que satisfaça . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes simétricas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz transposta e como garantir que uma matriz seja simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta A = a & b & c d & e & f g & h & i de uma matriz A^T = a & d & g b & e & h c & f & i é obtida trocando as linhas pelas colunas. Por exemplo, se temos:
Então,

Passo 3

Para que a matriz A = a & b & c b & d & e c & e & f seja simétrica, ela deve ser igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos abaixo da diagonal principal devem ser iguais aos elementos correspondentes acima da diagonal. Assim, uma matriz simétrica tem a seguinte forma:
Aqui, são números reais e podem ser diferentes, mas devem satisfazer que os elementos fora da diagonal sejam iguais em relação à diagonal.

Passo 4

Agora, precisamos escolher valores para de forma que a matriz não seja a matriz nula (ou seja, não todos os elementos são zero). Vamos escolher valores simples para facilitar:

Passo 5

Com esses valores, nossa matriz simétrica A = 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 fica assim:

Resposta

A matriz A = 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 que satisfaz e é não-nula é:

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