7a. Encontre uma matriz não-nula de tamanho tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma matriz de tamanho que seja simétrica, ou seja, que satisfaça . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes simétricas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz transposta e como garantir que uma matriz seja simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz é obtida trocando as linhas pelas colunas. Por exemplo, se temos:
Então,
Passo 3
Para que a matriz seja simétrica, ela deve ser igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos abaixo da diagonal principal devem ser iguais aos elementos correspondentes acima da diagonal. Assim, uma matriz simétrica tem a seguinte forma:
Aqui, são números reais e podem ser diferentes, mas devem satisfazer que os elementos fora da diagonal sejam iguais em relação à diagonal.
Passo 4
Agora, precisamos escolher valores para de forma que a matriz não seja a matriz nula (ou seja, não todos os elementos são zero). Vamos escolher valores simples para facilitar:
Passo 5
Com esses valores, nossa matriz simétrica fica assim: