Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: S cap Pi; S: z=x^2+y^2 ; Pi: z=2 x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida por e um plano dado por . O que a gente precisa fazer é encontrar a interseção dessas duas, ou seja, descobrir quais pontos estão nas duas equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e resolver as equações simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, para achar a interseção x^2 + y^2 = 2x , vamos igualar as duas expressões para :
Isso porque, na interseção, os valores de devem ser os mesmos nas duas equações.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a resolução. Vamos mover o termo x^2 - 2x + y^2 = 0 para o lado esquerdo:
(x^2 - 2x + 1) + y^2 = 1
Para simplificar ainda mais, podemos completar o quadrado para o termo de (x - 1)^2 + y^2 = 1 . Adicionamos e subtraímos 1:
Isso simplifica para:

Passo 4

Essa última equação representa um círculo no plano . O centro desse círculo está no ponto e o raio é 1. Então, a interseção entre a superfície e o plano é exatamente esse círculo.

Resposta

A interseção é o círculo definido por no plano .

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