Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre:
;
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície
definida por
e um plano
dado por
. O que a gente precisa fazer é encontrar a interseção dessas duas, ou seja, descobrir quais pontos estão nas duas equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e resolver as equações simultaneamente.
Passo 2
Primeiro, para achar a interseção
, vamos igualar as duas expressões para
:
Isso porque, na interseção, os valores de
devem ser os mesmos nas duas equações.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a resolução. Vamos mover o termo
para o lado esquerdo:
Para simplificar ainda mais, podemos completar o quadrado para o termo de
. Adicionamos e subtraímos 1:
Isso simplifica para:
Passo 4
Essa última equação
representa um círculo no plano
. O centro desse círculo está no ponto
e o raio é 1. Então, a interseção entre a superfície
e o plano
é exatamente esse círculo.
Resposta
A interseção
é o círculo definido por
no plano
.
Exercícios relacionados
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b.
;
7a. Encontre uma matriz não-nula
de tamanho
tal que
.
Determine o tipo de cônica resultante da intersecçāo do cone elíptico
com o plano
paralelo ao plano
.
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: a projeção de
no plano
;
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