Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: ; ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida por e um plano dado por . O que a gente precisa fazer é encontrar a interseção dessas duas, ou seja, descobrir quais pontos estão nas duas equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e resolver as equações simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, para achar a interseção , vamos igualar as duas expressões para :
Isso porque, na interseção, os valores de devem ser os mesmos nas duas equações.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a resolução. Vamos mover o termo para o lado esquerdo:
Para simplificar ainda mais, podemos completar o quadrado para o termo de . Adicionamos e subtraímos 1:
Isso simplifica para:

Passo 4

Essa última equação representa um círculo no plano . O centro desse círculo está no ponto e o raio é 1. Então, a interseção entre a superfície e o plano é exatamente esse círculo.

Resposta

A interseção é o círculo definido por no plano .

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Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b. ;
7a. Encontre uma matriz não-nula de tamanho tal que .
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com o plano paralelo ao plano .
Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: a projeção de no plano ; ;