Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: a projeção de S cap Pi no plano x circ y; S: z=x^2+y^2 ; Pi: z=4;

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos dá duas coisas principais: uma superfície definida por e um plano definido por . O que precisamos fazer é encontrar a projeção da interseção dessas duas superfícies no plano . Basicamente, isso envolve entender onde a parábola (representada por ) corta o plano horizontal e como isso se projeta no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção entre z = x^2 + y^2 e z = 4 e x^2 + y^2 = 4 . Para isso, igualamos as duas equações:
Igualando :
Isso representa uma equação de círculo no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, para encontrar a projeção dessa interseção no plano , observamos que no plano , a coordenada não existe; ou seja, estamos “olhando de cima”. Portanto, a projeção do círculo no plano é exatamente esse círculo.

Passo 4

Vamos entender a forma dessa projeção. A equação descreve um círculo com centro na origem e raio , já que .

Passo 5

Então, a projeção de no plano é um círculo com centro em e raio .

Resposta

A projeção de no plano é o círculo definido por .

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