Dado o conjunto
A=v1=(-1,3,-1), v2=(1,2,4) subset R^3
determine o subespaço gerado por A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto que está em . Nosso objetivo é descobrir qual é o subespaço gerado por esse conjunto. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, combinações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um subespaço gerado por um conjunto de vetores. O subespaço gerado por lambda1v1 + lambda2v2 é formado por todas as combinações lineares dos vetores em . Ou seja, qualquer vetor desse subespaço pode ser escrito como:
onde e são números reais.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores Matriz = -1 & 1 3 & 2 -1 & 4 e lambda1v1 + lambda2v2 = (0,0,0) são linearmente independentes ou não. Se eles forem independentes, o subespaço gerado será um plano em -1lambda1 + 1lambda2 = 0 3lambda1 + 2lambda2 = 0 -1lambda1 + 4lambda2 = 0 . Se forem dependentes, o subespaço será uma reta.
Para isso, colocamos os vetores como colunas em uma matriz e calculamos seu determinante:
Como a matriz não é quadrada, vamos analisar se existe alguma combinação dos vetores que resulte no vetor zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, encontramos que a única solução é . Isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como os vetores e são linearmente independentes, o subespaço gerado por é um plano que passa pela origem em . Esse plano é formado por todas as combinações lineares de e .

Resposta

O subespaço gerado por Span(A) = lambda1(-1,3,-1) + lambda2(1,2,4) mid lambda1, lambda2 in R é o plano em formado por todas as combinações lineares dos vetores e :

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