Dado o conjunto
determine o subespaço gerado por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto que está em . Nosso objetivo é descobrir qual é o subespaço gerado por esse conjunto. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como **espaços vetoriais**, **combinações lineares** e **independência linear**.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um subespaço gerado por um conjunto de vetores. O subespaço gerado por é formado por todas as **combinações lineares** dos vetores em . Ou seja, qualquer vetor desse subespaço pode ser escrito como:
onde e são números reais.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores e são **linearmente independentes** ou não. Se eles forem independentes, o subespaço gerado será um **plano** em . Se forem dependentes, o subespaço será uma **reta**.
Para isso, colocamos os vetores como colunas em uma matriz e calculamos seu determinante:
Como a matriz não é quadrada, vamos analisar se existe alguma combinação dos vetores que resulte no vetor zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, encontramos que a única solução é . Isso significa que os vetores são **linearmente independentes**.
Passo 4
Como os vetores e são linearmente independentes, o subespaço gerado por é um **plano** que passa pela origem em . Esse plano é formado por todas as combinações lineares de e .
Resposta
O subespaço gerado por é o **plano** em formado por todas as combinações lineares dos vetores e :