Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é assim:
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries e somas e, mais especificamente, vamos precisar entender como séries telescópicas funcionam para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é
. A ideia é simplificar esse termo para facilitar a soma. A gente pode fazer isso quebrando a fração em duas partes menores. Vamos usar a técnica de frações parciais.
Passo 3
Vamos escrever
como a diferença de duas frações:
Isso funciona porque:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na série:
Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
Passo 5
Vemos que a maioria dos termos se cancela! Isso é o que chamamos de série telescópica. Restam apenas os primeiros e os últimos termos. No caso de uma série infinita:
Passo 6
Como
, então a soma total da série é apenas:
Resposta
A soma da série infinita é
.
Exercícios relacionados
Para quais valores de
a sequência
converge?
Se , então
? Justifique.
Se
Obtenha o limite da sequência
. Leia a sugestão do item 10).
Dê exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a , nem a
.
Dê exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a
Calcule a derivada usando as regras de derivação.