Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é assim: . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries e somas e, mais especificamente, vamos precisar entender como séries telescópicas funcionam para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é . A ideia é simplificar esse termo para facilitar a soma. A gente pode fazer isso quebrando a fração em duas partes menores. Vamos usar a técnica de frações parciais.

Passo 3

Vamos escrever como a diferença de duas frações:
Isso funciona porque:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na série:
Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:

Passo 5

Vemos que a maioria dos termos se cancela! Isso é o que chamamos de série telescópica. Restam apenas os primeiros e os últimos termos. No caso de uma série infinita:

Passo 6

Como , então a soma total da série é apenas:

Resposta

A soma da série infinita é .

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Para quais valores de a sequência converge?
Se , então ? Justifique.
Obtenha o limite da sequência . Leia a sugestão do item 10).
Dê exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a , nem a .
Calcule a derivada usando as regras de derivação.