1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/((k+1)(k+2)) + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é assim: 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/((k+1)(k+2)) + .... O conteúdo que vamos usar aqui é sobre séries e somas e, mais especificamente, vamos precisar entender como séries telescópicas funcionam para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é . A ideia é simplificar esse termo para facilitar a soma. A gente pode fazer isso quebrando a fração em duas partes menores. Vamos usar a técnica de frações parciais.

Passo 3

Vamos escrever como a diferença de duas frações:
Isso funciona porque:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na série:
Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:

Passo 5

Vemos que a maioria dos termos se cancela! Isso é o que chamamos de série telescópica. Restam apenas os primeiros e os últimos termos. No caso de uma série infinita:

Passo 6

Como , então a soma total da série é apenas:

Resposta

A soma da série infinita é 1/2.

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