Para quais valores de
a sequência
converge?
Se
, então
? Justifique.
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A primeira parte pergunta para quais valores de
a sequência
converge. A segunda parte quer saber se, se
, então
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites e comportamento de sequências, além de aplicar propriedades de raízes e exponenciais.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte: para quais valores de
a sequência
converge. A sequência
pode ser reescrita como
. Sabemos que
depende do valor de
.
Passo 3
Se
, podemos analisar o limite
. Sabemos que qualquer número positivo elevado a
, quando
tende ao infinito, tende a 1. Isso porque
e
tende a 0, então
.
Passo 4
Agora, se
, temos
para todo
. Então, a sequência é constante e claramente converge para 0.
Passo 5
Se
, temos um problema porque
não está bem definida para
par, já que não há raiz par de um número negativo nos números reais. Portanto, nesses casos, a sequência não existe para todos os
, ou seja, não converge.
Passo 6
Resumindo a primeira parte: a sequência
converge para 1 se
, converge para 0 se
e não converge se
.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte da questão: se
, então
? Para isso, usamos a propriedade que se
tende a um número positivo
, então
.
Passo 8
Isso acontece porque podemos escrever
. Como
tende a
,
tende a
, que é uma constante. Então,
tende a 0, e
.
Resposta
A sequência
converge se e somente se
, convergindo para 1 quando
e para 0 quando
. Além disso, se
, então
.
Exercícios relacionados
Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3 )]
Obtenha o limite da sequência
. Leia a sugestão do item 10).
Dê exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a , nem a
.
Dê exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a