Para quais valores de a sequência converge?
Se , então ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A primeira parte pergunta para quais valores de a sequência converge. A segunda parte quer saber se, se , então . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites e comportamento de sequências, além de aplicar propriedades de raízes e exponenciais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: para quais valores de a sequência converge. A sequência pode ser reescrita como . Sabemos que depende do valor de .

Passo 3

Se , podemos analisar o limite . Sabemos que qualquer número positivo elevado a , quando tende ao infinito, tende a 1. Isso porque e tende a 0, então .

Passo 4

Agora, se , temos para todo . Então, a sequência é constante e claramente converge para 0.

Passo 5

Se , temos um problema porque não está bem definida para par, já que não há raiz par de um número negativo nos números reais. Portanto, nesses casos, a sequência não existe para todos os , ou seja, não converge.

Passo 6

Resumindo a primeira parte: a sequência converge para 1 se , converge para 0 se e não converge se .

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte da questão: se , então ? Para isso, usamos a propriedade que se tende a um número positivo , então .

Passo 8

Isso acontece porque podemos escrever . Como tende a , tende a , que é uma constante. Então, tende a 0, e .

Resposta

A sequência converge se e somente se , convergindo para 1 quando e para 0 quando . Além disso, se , então .

Exercícios relacionados

Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3 )]
Obtenha o limite da sequência . Leia a sugestão do item 10).
Dê exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a , nem a .