Obtenha o limite da sequência . Leia a sugestão do item 10).
Dê exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a , nem a .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas tarefas:
  1. Encontrar o limite da sequência .
  2. Dar um exemplo de uma sequência que não é limitada, mas também não tende a nem a .
Vamos precisar de conhecimentos sobre limites de sequências e propriedades de sequências limitadas.

Passo 2

Vamos começar encontrando o limite da primeira sequência. Observe que cada termo é uma raiz quadrada que envolve o termo anterior multiplicado por 2. Isso sugere que a sequência pode estar convergindo para um valor específico.

Passo 3

Vamos chamar o limite da sequência de . Se a sequência converge, então deve satisfazer a relação da própria sequência. Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Em seguida, rearranjamos a equação para:
Fatorando, temos:

Passo 6

As soluções dessa equação são ou . No entanto, como os termos da sequência são todos positivos e maiores que zero, descartamos . Portanto, o limite é .

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: dar um exemplo de uma sequência que não é limitada, mas não tende a nem a . Uma sequência que oscila sem limites fixos serve para esse propósito.

Passo 8

Um exemplo clássico é a sequência definida por . Aqui, cresce sem limites, mas os termos alternam sinais positivos e negativos.

Passo 9

Vamos verificar:
  • Para par: , que tende a .
  • Para ímpar: , que tende a .
No entanto, como os limites laterais não se coincidem, concluímos que a sequência não tende a nenhum dos dois, mesmo não sendo limitada.

Resposta

O limite da sequência é . Um exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a nem a , é .

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