Obtenha o limite da sequência
. Leia a sugestão do item 10).
Dê exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a
, nem a
.
Dê exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas tarefas:
- Encontrar o limite da sequência
. - Dar um exemplo de uma sequência que não é limitada, mas também não tende a
nem a .
Vamos precisar de conhecimentos sobre limites de sequências e propriedades de sequências limitadas.
Passo 2
Vamos começar encontrando o limite da primeira sequência. Observe que cada termo é uma raiz quadrada que envolve o termo anterior multiplicado por 2. Isso sugere que a sequência pode estar convergindo para um valor específico.
Passo 3
Vamos chamar o limite da sequência de
. Se a sequência converge, então
deve satisfazer a relação da própria sequência. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Em seguida, rearranjamos a equação para:
Fatorando, temos:
Passo 6
As soluções dessa equação são
ou
. No entanto, como os termos da sequência são todos positivos e maiores que zero, descartamos
. Portanto, o limite é
.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: dar um exemplo de uma sequência que não é limitada, mas não tende a
nem a
. Uma sequência que oscila sem limites fixos serve para esse propósito.
Passo 8
Um exemplo clássico é a sequência definida por
. Aqui,
cresce sem limites, mas os termos alternam sinais positivos e negativos.
Passo 9
Vamos verificar:
- Para
par: , que tende a . - Para
ímpar: , que tende a .
No entanto, como os limites laterais não se coincidem, concluímos que a sequência não tende a nenhum dos dois, mesmo não sendo limitada.
Resposta
O limite da sequência
é
. Um exemplo de sequência que não é limitada, mas não tende a
nem a
, é
.
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a sequência
converge?
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Se
Calcule a derivada usando as regras de derivação.
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