sumn=1^infty pi^n3^n+1

Passo 1

Vamos analisar a série infinita sumn=1^infty pi^n3^n+1. Nosso objetivo é encontrar o valor dessa soma utilizando conceitos de séries geométricas, que nos ajudam a somar termos que seguem uma razão constante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Podemos reescrever o denominador 3^n+1 como 3 cdot 3^n. Assim, a série fica:
sumn=1^infty pi^n3^n+1 = 13 sumn=1^infty (pi3)^n

Passo 3

Agora, identificamos que a série simplificada sumn=1^infty (pi3)^n é uma série geométrica. As séries geométricas têm a forma geral:
sumn=0^infty r^n = 11 - r, para |r| < 1
onde r é a razão da série. Para nossa série, a razão é r = pi3.

Passo 4

Vamos verificar se a série converge. Para isso, precisamos que o valor absoluto da razão seja menor que 1:
|pi3| < 1
Sabemos que pi approx 3,1416, então:
pi3 approx 1,0472
Como 1,0472 > 1, a condição |r| < 1 não é satisfeita.

Passo 5

Como a razão da série geométrica tem valor absoluto maior que 1, a série não converge. Isso significa que a soma dos termos tende ao infinito e não possui um valor finito.

Resposta

A série sumn=1^infty pi^n3^n+1 não converge.

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