1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/((n+1)(n+2)) + ...

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a soma infinita da série 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/((n+1)(n+2)) + .... Isso faz parte do estudo de séries matemáticas, e para resolver, vamos precisar entender como simplificar cada termo da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada fração da série. Observe que cada termo pode ser reescrito usando frações parciais. Por exemplo:
Isso ajuda a quebrar a fração em partes mais simples.

Passo 3

Aplicando essa simplificação a cada termo da série, temos:

Passo 4

Agora, vamos somar todos esses termos simplificados:
Perceba que muitos termos vão se cancelar mutuamente.

Passo 5

Após o cancelamento, sobra apenas o primeiro termo da primeira fração e o último termo da última fração:

Passo 6

Como a série é infinita, queremos o limite quando tende ao infinito:

Resposta

O valor da soma da série é 1/2.

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