Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^4e^n

Passo 1

Então, a gente tem que analisar uma série infinita que é alternada, ou seja, os sinais mudam de positivo para negativo e por aí vai. A série que a gente vai olhar é:
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^4e^n
Nossa missão aqui é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou se diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência de séries, especialmente o teste da série alternada e o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série sem os sinais alternados, ou seja, considera:
sumn=1^infty n^4e^n
Se essa série der convergente, então nossa série original também é absolutamente convergente.

Passo 3

Para testar a convergência dessa nova série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é ótimo para séries que envolvem potências ou exponenciais. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge absolutamente.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série:
an = n^4e^n
Então,
an+1an = (n+1)^4e^n+1 cdot e^nn^4 = (n+1)^4n^4 cdot e
Simplificando:
an+1an = (1 + 1n)^4 cdot 1e
Tomando o limite quando L = limn to infty (1 + 1n)^4 cdot 1e = 1 cdot 1e = 1e approx 0,3679 vai para infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Passo 5

Como a série das magnitudes dos termos converge, concluímos que a série original também converge absolutamente. Isso significa que além de convergir, ela permanece convergente mesmo sem considerar os sinais alternados.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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sumn=1^infty(-1)^n-1 3^nn!
1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/((n+1)(n+2)) + ...
Para cada um dos itens abaixo, calcule F'(t). F(t) = (sen(t^2), cos(t^7), raiz((t + 1)^3)^(1/5))