Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Então, a gente tem que analisar uma série infinita que é alternada, ou seja, os sinais mudam de positivo para negativo e por aí vai. A série que a gente vai olhar é:
Nossa missão aqui é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou se diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência de séries, especialmente o teste da série alternada e o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série sem os sinais alternados, ou seja, considera:
Se essa série der convergente, então nossa série original também é absolutamente convergente.
Passo 3
Para testar a convergência dessa nova série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é ótimo para séries que envolvem potências ou exponenciais. A ideia é calcular o limite:
Se , a série converge absolutamente.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série:
an = n^4e^n
Então,
an+1an = (n+1)^4e^n+1 cdot e^nn^4 = (n+1)^4n^4 cdot e
Simplificando:
an+1an = (1 + 1n)^4 cdot 1e
Tomando o limite quando L = limn to infty (1 + 1n)^4 cdot 1e = 1 cdot 1e = 1e approx 0,3679 vai para infinito:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.
Passo 5
Como a série das magnitudes dos termos converge, concluímos que a série original também converge absolutamente. Isso significa que além de convergir, ela permanece convergente mesmo sem considerar os sinais alternados.