Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2+1n^3

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que nos pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que:
n^2 + 1n^3 = n^2n^3 + 1n^3 = 1n + 1n^3
Então, a série pode ser reescrita como:
sumn=1^infty (-1)^n-1 ( 1n + 1n^3 )

Passo 3

Vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 ( 1n + 1n^3 ) | = sumn=1^infty ( 1n + 1n^3 )
Essa série pode ser dividida em duas séries:
sumn=1^infty 1n e sumn=1^infty 1n^3

Passo 4

Analisando a primeira série, , sabemos que ela é a série harmônica, que é famosa por ser divergente.
Já a segunda série, , é uma série p com , o que garante que ela converge.
No entanto, como a soma de uma série divergente com uma convergente ainda resulta em uma série divergente, concluímos que a série dos valores absolutos é divergente.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, precisamos verificar se a série original converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada limn to infty ( 1n + 1n^3 ) = 0 converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. .
  3. Os termos são decrescentes.
No nosso caso, , que são positivos. Além disso:
E, claramente, é uma sequência decrescente. Portanto, a série satisfaz todas as condições do Teste da Série Alternada, o que significa que ela converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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