Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que nos pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que:
Então, a série pode ser reescrita como:
Passo 3
Vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Essa série pode ser dividida em duas séries:
sumn=1^infty 1n e sumn=1^infty 1n^3
Passo 4
Analisando a primeira série, , sabemos que ela é a série harmônica, que é famosa por ser divergente.
Já a segunda série, , é uma série p com , o que garante que ela converge.
No entanto, como a soma de uma série divergente com uma convergente ainda resulta em uma série divergente, concluímos que a série dos valores absolutos é divergente.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, precisamos verificar se a série original converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada limn to infty ( 1n + 1n^3 ) = 0 converge se:
Os termos são positivos.
.
Os termos são decrescentes.
No nosso caso, , que são positivos. Além disso:
E, claramente, é uma sequência decrescente. Portanto, a série satisfaz todas as condições do Teste da Série Alternada, o que significa que ela converge condicionalmente.