Para cada um dos itens abaixo, calcule .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de uma função vetorial que tem três componentes, todas envolvendo logaritmos com diferentes bases e expressões mais complicadas dentro deles. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação de funções logarítmicas, a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente de :
Para derivar essa fração, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aqui, e .
Vamos derivar :
Então,
Agora, derivamos :
Aplicando a regra do quociente:
Podemos simplificar um pouco:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente de :
Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos o logaritmo:
Derivando:
Usamos a regra do quociente novamente para derivar :
Então,

Passo 4

Finalmente, vamos derivar a terceira componente de :
Usamos a regra da cadeia novamente. Primeiro, reescrevemos o logaritmo:
Derivando:

Resposta

A derivada da função é:

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Para cada um dos itens abaixo, calcule .
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