Para cada um dos itens abaixo, calcule F^prime(t). F(t)=(log 3(t^2)t^2+1, log 5(t^2t^4+1), log 7(e^3 sen(t)+1))

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de uma função vetorial que tem três componentes, todas envolvendo logaritmos com diferentes bases e expressões mais complicadas dentro deles. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação de funções logarítmicas, a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira componente de F1(t) = log3(t^2)t^2 + 1 :
u'(t) cdot v(t) - u(t) cdot v'(t)[v(t)]^2
Para derivar essa fração, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função u(t) = log3(t^2) = ln(t^2)ln(3) = 2ln(t)ln(3) , sua derivada é:
u'(t) = 2t ln(3)
Aqui, v'(t) = 2t e F'1(t) = 2t ln(3) cdot (t^2 + 1) - log3(t^2) cdot 2t(t^2 + 1)^2 .
Vamos derivar F'1(t) = 2(t^2 + 1)t ln(3) (t^2 + 1)^2 - 2t log3(t^2)(t^2 + 1)^2 = 2t ln(3) (t^2 + 1) - 2t log3(t^2)(t^2 + 1)^2 :
Então,
Agora, derivamos :
Aplicando a regra do quociente:
Podemos simplificar um pouco:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente de F2(t) = log5(t^2t^4 + 1) :
F2(t) = ln(t^2t^4 + 1)ln(5)
Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos o logaritmo:
F'2(t) = 1ln(5) cdot ddt(t^2t^4 + 1)
Derivando:
ddt(t^2t^4 + 1) = 2t(t^4 + 1) - t^2(4t^3)(t^4 + 1)^2 = 2t(t^4 + 1) - 4t^5(t^4 + 1)^2 = 2t + 2t^5 - 4t^5(t^4 + 1)^2 = 2t - 2t^5(t^4 + 1)^2 = 2t(1 - t^4)(t^4 + 1)^2
Usamos a regra do quociente novamente para derivar F'2(t) = 1ln(5) cdot 2t(1 - t^4)(t^4 + 1)^2 = 2t(1 - t^4)ln(5)(t^4 + 1)^2 :
Então,

Passo 4

Finalmente, vamos derivar a terceira componente de F3(t) = log7(e^3 sin(t) + 1) :
F3(t) = ln(e^3 sin(t) + 1)ln(7) = 3 sin(t) + 1ln(7)
Usamos a regra da cadeia novamente. Primeiro, reescrevemos o logaritmo:
F'3(t) = 3 cos(t)ln(7)
Derivando:

Resposta

A derivada da função F'(t) = ( 2t ln(3) (t^2 + 1) - 2t log3(t^2)(t^2 + 1)^2, 2t(1 - t^4)ln(5)(t^4 + 1)^2, 3 cos(t)ln(7) ) é:

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