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Determinar a equação de uma reta
que é tangente à curva
passa na origem.
Determinar a equação de uma reta
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma reta
que é tangente à curva dada pela função vetorial
e que passa pela origem (0,0). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a inclinação da tangente, além de equações de reta.
Passo 2
Vamos começar encontrando as coordenadas do ponto na curva onde a reta será tangente. Denotemos esse ponto como
, onde
.
Passo 3
Para encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto
, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente no ponto
.
Passo 4
A equação da reta tangente no ponto
pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
onde
e
. Substituindo, temos:
Passo 5
Sabemos que a reta tangente passa pela origem (0,0). Vamos substituir
e
na equação da reta tangente:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 7
Com
, podemos encontrar as coordenadas do ponto de tangência:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 8
Agora, encontramos a inclinação da reta tangente usando
:
Passo 9
Com o ponto
e a inclinação
, podemos escrever a equação da reta tangente:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
que passa pela origem é
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Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
e)
e)
Resolva a equação do oscilador harmônico simples:
Dada as condições iniciais
e
.
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
d)
d)
Teste a série para convergência ou divergência.