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Determinar a equação de uma reta que é tangente à curva
passa na origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma reta que é tangente à curva dada pela função vetorial
e que passa pela origem (0,0). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a inclinação da tangente, além de equações de reta.

Passo 2

Vamos começar encontrando as coordenadas do ponto na curva onde a reta será tangente. Denotemos esse ponto como , onde .

Passo 3

Para encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto , precisamos calcular a derivada de em relação a :
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente no ponto .

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
onde e . Substituindo, temos:

Passo 5

Sabemos que a reta tangente passa pela origem (0,0). Vamos substituir e na equação da reta tangente:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 7

Com , podemos encontrar as coordenadas do ponto de tangência:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 8

Agora, encontramos a inclinação da reta tangente usando :

Passo 9

Com o ponto e a inclinação , podemos escrever a equação da reta tangente:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva que passa pela origem é

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