Resolva a equação do oscilador harmônico simples:
Dada as condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação do oscilador harmônico simples:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente de equações lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de solução geral e aplicar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea. A equação é:
A gente assume que a solução tem a forma:
onde
e
são constantes que vamos determinar, e
é a frequência angular.
Passo 3
Comparando com a equação dada, vemos que:
Então, a solução geral fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Substituindo
Passo 5
Segunda condição:
Primeiro, precisamos achar a derivada de :
Primeiro, precisamos achar a derivada de
Agora, substituindo
:
Resposta
Com
e
, a solução da equação é: