Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
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Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a equação da reta tangente à curva dada pela função vetorial no ponto correspondente a . Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas de funções vetoriais, que nos ajudam a encontrar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Substituindo na função :
Calculando cada componente:
Portanto, o ponto na curva é .
Passo 3
Agora, precisamos determinar o vetor derivada, que nos dá a direção da reta tangente. A derivada de em relação a é:
Substituindo na derivada:
Calculando cada componente:
Então, o vetor derivada é .
Passo 4
Com o ponto e o vetor direcional, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Em coordenadas paramétricas, a reta é dada por:
Onde é o ponto na reta e são as componentes do vetor direcional.