Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
e)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a equação da reta tangente à curva dada pela função vetorial no ponto correspondente a . Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas de funções vetoriais, que nos ajudam a encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Substituindo na função :
Calculando cada componente:
Portanto, o ponto na curva é .

Passo 3

Agora, precisamos determinar o vetor derivada , que nos dá a direção da reta tangente. A derivada de em relação a é:
Substituindo na derivada:
Calculando cada componente:
Então, o vetor derivada é .

Passo 4

Com o ponto e o vetor direcional , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Em coordenadas paramétricas, a reta é dada por:
Onde é o ponto na reta e são as componentes do vetor direcional.
Substituindo os valores:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Resposta

A equação da reta tangente é dada por:
Onde é o parâmetro da reta.

Exercícios relacionados

Resolva a equação do oscilador harmônico simples:
Dada as condições iniciais e .
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
a)
12
Determinar a equação de uma reta que é tangente à curva
passa na origem.
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
d)