Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar a equação da reta tangente à curva dada pela função vetorial
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a reta tangente em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o valor de
que nos dá o ponto
na curva
. Isso significa que queremos encontrar
tal que:
Passo 3
Resolvendo a primeira equação
, obtemos
. Vamos verificar qual desses valores satisfaz a segunda equação
.
Passo 4
Testando
na segunda equação:
Agora, testando
:
Portanto, o valor de
que corresponde ao ponto
é
.
Passo 5
Para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função vetorial
, que nos dá o vetor velocidade
.
Calculando a derivada:
Passo 6
Agora, avaliamos a derivada no valor
para obter o vetor tangente no ponto
:
Passo 7
Com o vetor tangente
e o ponto
, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma paramétrica é dada por:
onde
é o ponto de tangência e
são as componentes do vetor tangente, e
é o parâmetro.
Passo 8
Substituindo os valores:
Passo 9
Para deixar a equação mais familiar, podemos expressar
em função de
ou
. Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos esse valor na segunda equação para obter a equação da reta em termos de
:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
Exercícios relacionados
12
Determinar a equação de uma reta que é tangente à curva
passa na origem.
Determinar a equação de uma reta
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
e)
e)
Teste a série para convergência ou divergência.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.