Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
d) vec(r)(t) = t^2 * i + t^3 * j ; P0(4,-8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar a equação da reta tangente à curva dada pela função vetorial no ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a reta tangente em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o valor de t que nos dá o ponto na curva vec(r)(t). Isso significa que queremos encontrar t tal que:

Passo 3

Resolvendo a primeira equação , obtemos . Vamos verificar qual desses valores satisfaz a segunda equação .

Passo 4

Testando na segunda equação:
Agora, testando :
Portanto, o valor de t que corresponde ao ponto é .

Passo 5

Para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função vetorial vec(r)(t), que nos dá o vetor velocidade .
Calculando a derivada:

Passo 6

Agora, avaliamos a derivada no valor para obter o vetor tangente no ponto P0:

Passo 7

Com o vetor tangente e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma paramétrica é dada por:
onde é o ponto de tangência e são as componentes do vetor tangente, e s é o parâmetro.

Passo 8

Substituindo os valores:

Passo 9

Para deixar a equação mais familiar, podemos expressar s em função de x ou y. Vamos resolver a primeira equação para s:
Agora, substituímos esse valor na segunda equação para obter a equação da reta em termos de x:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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