Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar a equação da reta tangente à curva dada pela função vetorial no ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a reta tangente em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o valor de que nos dá o ponto na curva . Isso significa que queremos encontrar tal que:

Passo 3

Resolvendo a primeira equação , obtemos . Vamos verificar qual desses valores satisfaz a segunda equação .

Passo 4

Testando na segunda equação:
Agora, testando :
Portanto, o valor de que corresponde ao ponto é .

Passo 5

Para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função vetorial , que nos dá o vetor velocidade .
Calculando a derivada:

Passo 6

Agora, avaliamos a derivada no valor para obter o vetor tangente no ponto :

Passo 7

Com o vetor tangente e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma paramétrica é dada por:
onde é o ponto de tangência e são as componentes do vetor tangente, e é o parâmetro.

Passo 8

Substituindo os valores:

Passo 9

Para deixar a equação mais familiar, podemos expressar em função de ou . Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos esse valor na segunda equação para obter a equação da reta em termos de :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

12
Determinar a equação de uma reta que é tangente à curva
passa na origem.
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
e)
Teste a série para convergência ou divergência.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.