Teste a série para convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para testar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada, ou seja, os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e assim por diante. Isso é importante porque temos um teste específico para esse tipo de série chamado Teste da Série Alternada ou Teste de Leibniz.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os são decrescentes: para todo .
  2. O limite de quando vai para o infinito é zero: .
Vamos verificar essas condições para a nossa série.

Passo 4

Aqui, .
  1. Decrescimento: À medida que aumenta, também aumenta, então diminui. Logo, .
  2. Limite: , já que cresce sem limite.
Como ambas as condições são satisfeitas, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 5

Agora, para saber se a convergência é absoluta ou condicional, vamos analisar a série dos valores absolutos: .
Para testar a convergência absoluta, podemos usar o Teste da Integral. Considerando a função , vamos integrar de 2 até o infinito:
Essa integral diverge, o que significa que a série dos valores absolutos também diverge. Portanto, a convergência da nossa série original não é absoluta, mas sim condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
d)
12
Determinar a equação de uma reta que é tangente à curva
passa na origem.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
c)