Teste a série para convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para testar se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada, ou seja, os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e assim por diante. Isso é importante porque temos um teste específico para esse tipo de série chamado Teste da Série Alternada ou Teste de Leibniz.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os
são decrescentes: para todo . - O limite de
quando vai para o infinito é zero: .
Vamos verificar essas condições para a nossa série.
Passo 4
Aqui,
.
-
Decrescimento: À medida que
aumenta, também aumenta, então diminui. Logo, . -
Limite:
, já que cresce sem limite.
Como ambas as condições são satisfeitas, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.
Passo 5
Agora, para saber se a convergência é absoluta ou condicional, vamos analisar a série dos valores absolutos:
.
Para testar a convergência absoluta, podemos usar o Teste da Integral. Considerando a função
, vamos integrar de 2 até o infinito:
Essa integral diverge, o que significa que a série dos valores absolutos também diverge. Portanto, a convergência da nossa série original não é absoluta, mas sim condicional.
Resposta
A série
converge condicionalmente.
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d)
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12
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c)
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