Sejam
B=(1,0),(0,1), C=(-1,1),(1,1), D=(raiz3, 1),(raiz3,-1)
16a
(a) Quais as coordenadas do vetor (3,2) em relação à base B ? E em relação a C ? E em relação a D ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor em relação a três bases diferentes: , e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e combinações lineares de vetores, para encontrar essas coordenadas.

Passo 2

Coordenadas na base (3, 2) = 3 cdot (1, 0) + 2 cdot (0, 1)

A base é , que é a base padrão no plano . Nessa base, qualquer vetor já está representado pelas suas próprias coordenadas, porque os vetores da base são os vetores unitários nos eixos e .
Então, para o vetor :
Portanto, as coordenadas de na base são .

Passo 3

Coordenadas na base c1 cdot (-1, 1) + c2 cdot (1, 1) = (3, 2)

A base - c1 + c2 = 3 &(equação do eixo x) c1 + c2 = 2 &(equação do eixo y) é (-c1 + c2) + (c1 + c2) = 3 + 2 2c2 = 5 c2 = 52 = 2,5 . Queremos encontrar escalares c1 + 2,5 = 2 c1 = 2 - 2,5 c1 = -0,5 e tais que:
Isso resulta em um sistema de equações:
çãçã
Vamos resolver esse sistema:
  1. Somando as duas equações:
  1. Substituindo na segunda equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 4

Coordenadas na base d1 cdot (raiz3, 1) + d2 cdot (raiz3, -1) = (3, 2)

A base raiz3 cdot d1 + raiz3 cdot d2 = 3 &(equação do eixo x) 1 cdot d1 - 1 cdot d2 = 2 &(equação do eixo y) é d1 + d2 = 3raiz3 = raiz3 . Novamente, queremos encontrar escalares d1 + d2 = raiz3 d1 - d2 = 2 e (d1 + d2) + (d1 - d2) = raiz3 + 2 2d1 = raiz3 + 2 d1 = raiz3 + 22 tais que:
raiz3 + 22 + d2 = raiz3 d2 = raiz3 - raiz3 + 22 d2 = 2raiz3 - raiz3 - 22 d2 = raiz3 - 22
Isso resulta em outro sistema de equações:
çãçã
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por :
Agora, temos:
Vamos somar as duas equações:
Agora, substituindo na primeira equação:
Portanto, as coordenadas de na base são .

Resposta

As coordenadas do vetor são:
  • Na base :
  • Na base :
  • Na base :

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