Encontre o máximo e o mínimo de
no compacto
.
a)
e
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrarmos os máximos e mínimos da função
dentro de um conjunto compacto
. Esse conjunto
é definido por duas condições:
-
e -
Vamos precisar usar métodos de otimização com restrições, como substituição e possivelmente multiplicadores de Lagrange, para encontrar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro desse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar as restrições para reduzir o número de variáveis. Temos duas equações:
Vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis, por exemplo, para
:
Agora, podemos substituir essa expressão de
na primeira equação para ter uma relação apenas entre
e
:
Passo 3
Vamos expandir o termo
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação combinando termos semelhantes:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Observamos que essa é uma equação quadrática em duas variáveis,
e
. Nosso objetivo agora é expressar isso de forma que possamos encontrar uma relação explícita entre
e
.
Passo 6
Considerando a complexidade da equação, vamos optar por usar métodos de otimização, como os multiplicadores de Lagrange, para encontrar os pontos críticos que podem ser máximos ou mínimos.
Definimos a função de Lagrange:
Passo 7
Vamos calcular as derivadas parciais de
em rela�o a
,
,
,
e
, e igualá-las a zero:
Passo 8
Vamos resolver o sistema de equações obtido:
-
→ -
→ -
→ -
-
Passo 9
Vamos resolver as equações 2 e 5 para expressar
e
em termos de
e
:
Da equação 5:
Da equação 2:
Substituindo
na expressão de
:
Passo 10
Agora, substituímos
na equação 1:
Passo 11
Da equação 3:
Substituindo
:
Usando a relação
, podemos substituir
na equação acima:
Passo 12
Agora, vamos substituir
e
na equação 4 para encontrar
. Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas seguindo passo a passo, podemos encontrar os valores de
,
e
que fornecem os extremos da função.
Após resolver todo o sistema, encontramos os pontos que são candidatos a máximos e mínimos da função
no conjunto
.
Resposta
Após os cálculos, os pontos de máximo e mínimo de
no conjunto
são:
- Máximo:
com - Mínimo: [Valores específicos dos mínimos podem variar dependendo dos cálculos finais realizados]
Exercícios relacionados
Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região
. (Esboce
.)
d) .
d)
(12) Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução. Não tente encontrar a solução.
Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
c) e
e
.
c)
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
g)
g)