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Encontre a linearização
no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo
:
(a)
;
Encontre a linearização
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a linearização da função
no ponto
. Além disso, precisamos calcular o erro dessa aproximação linear no retângulo onde
e
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a linearização de uma função. A linearização
de uma função
em um ponto
é a melhor aproximação linear de
perto desse ponto. A fórmula geral para a linearização é:
Onde:
-
é a derivada parcial de em relação a no ponto . -
é a derivada parcial de em relação a no ponto .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
No ponto
:
Passo 4
Agora, substituindo esses valores na fórmula da linearização:
Então, a linearização da função no ponto
é simplesmente
.
Passo 5
Vamos calcular o erro da aproximação linear. O erro
é dado por:
Dentro do retângulo
e
:
Portanto:
Resposta
A linearização da função no ponto
é
e o erro da aproximação linear está limitado a no máximo 0,02 dentro do retângulo dado.