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Encontre a linearização L(x, y) no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo |x - x0| <= 0.1, |y - y0| <= 0.1 :
(a) f(x, y) = x^2 + y^2 + 1, P(0, 0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a linearização da função no ponto . Além disso, precisamos calcular o erro dessa aproximação linear no retângulo onde e . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a linearização de uma função. A linearização de uma função em um ponto é a melhor aproximação linear de perto desse ponto. A fórmula geral para a linearização é:
Onde:
  • é a derivada parcial de em relação a no ponto .
  • é a derivada parcial de em relação a no ponto .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
No ponto :

Passo 4

Agora, substituindo esses valores na fórmula da linearização:
Então, a linearização da função no ponto é simplesmente .

Passo 5

Vamos calcular o erro da aproximação linear. O erro é dado por:
Dentro do retângulo e :
Portanto:

Resposta

A linearização da função no ponto é e o erro da aproximação linear está limitado a no máximo 0,02 dentro do retângulo dado.

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