Encontre equações do plano tangente e a reta normal no ponto na superfície dada:
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal no ponto na superfície definida por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Essa é uma equação que relaciona as coordenadas e . Podemos reescrever como , o que nos mostra que a superfície é um paraboloide.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos da derivada parcial de em relação a , já que a superfície não depende de . A derivada parcial nos dá a inclinação da superfície em relação a .

Passo 4

Calculando a derivada de em relação a :
No ponto , , então:

Passo 5

O plano tangente à superfície em pode ser escrito usando a equação:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto . Para isso, precisamos do vetor normal ao plano tangente.

Passo 7

O vetor normal pode ser obtido a partir das derivadas parciais. Como a derivada parcial em não existe (a superfície não depende de ), o vetor normal é:

Passo 8

A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro. Substituindo:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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