Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal no ponto na superfície definida por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . Essa é uma equação que relaciona as coordenadas e . Podemos reescrever como , o que nos mostra que a superfície é um paraboloide.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos da derivada parcial de em relação a , já que a superfície não depende de . A derivada parcial nos dá a inclinação da superfície em relação a .
Passo 4
Calculando a derivada de em relação a :
No ponto , , então:
Passo 5
O plano tangente à superfície em pode ser escrito usando a equação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto . Para isso, precisamos do vetor normal ao plano tangente.
Passo 7
O vetor normal pode ser obtido a partir das derivadas parciais. Como a derivada parcial em não existe (a superfície não depende de ), o vetor normal é:
Passo 8
A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro. Substituindo:
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: