Encontre partial fpartial x e partial fpartial y :
(h) f(x, y)=e^-x sen(x+y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de u = e^-x e v = sen(x + y) em relação a u' = ddx e^-x = -e^-x (usando a regra da derivada da exponencial) , ou seja, v' = ddx sen(x + y) = cos(x + y) cdot ddx(x + y) = cos(x + y) cdot 1 = cos(x + y) (usando a regra da cadeia) .
A função partial fpartial x = u' cdot v + u cdot v' = (-e^-x) cdot sen(x + y) + e^-x cdot cos(x + y) é um produto de duas funções: partial fpartial x = -e^-x sen(x + y) + e^-x cos(x + y) e . Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de partial fpartial x = e^-x ( cos(x + y) - sen(x + y) ) é .
Então, temos:
Agora, vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de ddy sen(x + y) = cos(x + y) cdot ddy(x + y) = cos(x + y) cdot 1 = cos(x + y) em relação a partial fpartial y = e^-x cdot cos(x + y) , ou seja, .
Aqui, é tratado como uma constante, já que estamos derivando em relação a . Então, temos apenas que derivar em relação a .
Usando a regra da cadeia, a derivada de onde é:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = e^-x ( cos(x + y) - sen(x + y) )

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