Se f e g forem funções, h(x) = f(x) + g(x) e se as derivadas f'(x) e g'(x) existirem, prove que h'(x) = f'(x) + g'(x).

Passo 1

Então, temos duas funções, e , e definimos uma terceira função . A questão pede para provar que a derivada de , ou seja, , é igual à soma das derivadas de e , ou seja, . Vamos precisar usar o conceito de derivada e como ela se comporta em relação à soma de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de em , denotada por , é definida como o limite:

Passo 3

Como , podemos substituir na expressão da derivada:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:

Passo 5

Podemos separar o limite em duas partes, já que o limite da soma é a soma dos limites:

Passo 6

Reconhecemos que cada uma dessas partes é a definição das derivadas de e , respectivamente:

Resposta

Portanto, provamos que .

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