Se
e
forem funções,
e se as derivadas
e
existirem, prove que
.
Passo 1
Então, temos duas funções,
e
, e definimos uma terceira função
. A questão pede para provar que a derivada de
, ou seja,
, é igual à soma das derivadas de
e
, ou seja,
. Vamos precisar usar o conceito de derivada e como ela se comporta em relação à soma de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de
em
, denotada por
, é definida como o limite:
Passo 3
Como
, podemos substituir na expressão da derivada:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Passo 5
Podemos separar o limite em duas partes, já que o limite da soma é a soma dos limites:
Passo 6
Reconhecemos que cada uma dessas partes é a definição das derivadas de
e
, respectivamente:
Resposta
Portanto, provamos que
.