Se e forem funções, e se as derivadas e existirem, prove que .
Passo 1
Então, temos duas funções, e , e definimos uma terceira função . A questão pede para provar que a derivada de , ou seja, , é igual à soma das derivadas de e , ou seja, . Vamos precisar usar o conceito de derivada e como ela se comporta em relação à soma de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de em , denotada por , é definida como o limite:
Passo 3
Como , podemos substituir na expressão da derivada:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Passo 5
Podemos separar o limite em duas partes, já que o limite da soma é a soma dos limites:
Passo 6
Reconhecemos que cada uma dessas partes é a definição das derivadas de e , respectivamente:
Resposta
Portanto, provamos que .
Exercícios relacionados
Encontre e :
(h) ;
Calcule as derivadas das funções (explique quais regras está utilizando).
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Encontre a linearização no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo :
(a) ;