1. Encontre os pontos da reta r que equidistam das retas s e t, onde
r: x-1=2 y s: x=y t: x-2=0
Observação:lembre-se |x|=|y| x= pm y

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos na reta que estão à mesma distância das retas e . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distância entre pontos e retas. Vamos precisar usar fórmulas de distância entre um ponto e uma reta para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas:
r: x - 1 = 2y s: x = y t: x - 2 = 0
Vamos reescrever a equação da reta x - 1 = 2y Rightarrow y = 12x - 12 na forma explícita :
Então, a reta tem inclinação e intercepto .

Passo 3

Vamos representar um ponto qualquer na reta . Como a reta está na forma , podemos parametrizar o ponto na reta como .

Passo 4

Agora, precisamos calcular a distância desse ponto d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 até as retas e . A fórmula da distância de um ponto até uma reta é:

Passo 5

Vamos calcular a distância de A = 1, B = -1, C = 0 até a reta ds = |1 cdot x + (-1) cdot (12x - 12) + 0|raiz1^2 + (-1)^2 = |x - 12x + 12|raiz2 = |12x + 12|raiz2 :

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância de A = 1, B = 0, C = -2 até a reta dt = |1 cdot x + 0 cdot (12x - 12) - 2|raiz1^2 + 0^2 = |x - 2|1 = |x - 2| :

Passo 7

Queremos que essas distâncias sejam iguais, então temos:
|12x + 12|raiz2 = |x - 2|
Vamos resolver essa equação para .

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por |12x + 12| = raiz2 cdot |x - 2| para eliminar o denominador:
Isso nos leva a duas possibilidades:

Passo 9

Vamos resolver a primeira equação:
12x + 12 = raiz2x - 2raiz2
12x - raiz2x = -2raiz2 - 12
x(12 - raiz2) = -2raiz2 - 12
x = -2raiz2 - 1212 - raiz2 = -4raiz2 - 11 - 2raiz2
Multiplicando numerador e denominador por x = (-4raiz2 - 1)(1 + 2raiz2)(1 - 2raiz2)(1 + 2raiz2) = -4raiz2 - 8 cdot 2 - 1 - 2raiz21 - (2raiz2)^2 = -6raiz2 - 171 - 8 = -6raiz2 - 17-7 = 6raiz2 + 177 para racionalizar:

Passo 10

Agora, vamos resolver a segunda equação:
12x + 12 = -raiz2x + 2raiz2
12x + raiz2x = 2raiz2 - 12
x(12 + raiz2) = 2raiz2 - 12
x = 2raiz2 - 1212 + raiz2 = 4raiz2 - 11 + 2raiz2
Multiplicando numerador e denominador por x = (4raiz2 - 1)(1 - 2raiz2)(1 + 2raiz2)(1 - 2raiz2) = 4raiz2 - 8 cdot 2 - 1 + 2raiz21 - (2raiz2)^2 = 6raiz2 - 171 - 8 = 6raiz2 - 17-7 = -6raiz2 + 177 para racionalizar:

Resposta

Os pontos na reta P( 6raiz2 + 177, 12 cdot 6raiz2 + 177 - 12 ) que estão à mesma distância das retas P( -6raiz2 + 177, 12 cdot -6raiz2 + 177 - 12 ) e P( 6raiz2 + 177, 3raiz2 + 1714 - 12 ) são:
P( -6raiz2 + 177, -3raiz2 + 1714 - 12 )
e
Ou, simplificando:
e
Esses s��o os dois pontos procurados na reta .

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