Quais das aplicações abaixo são transformações lineares:
a) T: R^2 R tal que T(x, y)=xy.
b) T: Re^3 Re tal que T(x, y, z)=2 x-3 y+4 z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pergunta quais das duas aplicações são transformações lineares. O assunto aqui é transformações lineares, que são funções que respeitam duas propriedades básicas: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar verificar se cada aplicação dada segue essas regras para determinar se são ou não transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a aplicação a):
T: R^2 R tal que T(x, y) = xy
Uma transformação linear deve satisfazer duas condições:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2)(y1 + y2) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2
  2. Homogeneidade: T(u) + T(v) = x1y1 + x2y2
Vamos testar a aditividade para essa aplicação:
Seja e . Então:
Por outro lado:
Claramente, , porque há termos extras . Portanto, a aplicação a) não é linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar a aplicação b):
T: Re^3 Re tal que T(x, y, z) = 2x - 3y + 4z
Vamos testar as duas propriedades da linearidade.
Aditividade:
Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = 2(x1 + x2) - 3(y1 + y2) + 4(z1 + z2) e = (2x1 - 3y1 + 4z1) + (2x2 - 3y2 + 4z2) = T(u) + T(v) . Então:
T(cu) = T(cx1, cy1, cz1) = 2(cx1) - 3(cy1) + 4(cz1) = c(2x1 - 3y1 + 4z1) = cT(u)
Homogeneidade:
Para um escalar :
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a aplicação b) é uma transformação linear.

Resposta

Apenas a aplicação b) é uma transformação linear.

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