Quais das aplicações abaixo são transformações lineares:
a) tal que .
b) tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pergunta quais das duas aplicações são transformações lineares. O assunto aqui é transformações lineares, que são funções que respeitam duas propriedades básicas: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar verificar se cada aplicação dada segue essas regras para determinar se são ou não transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a aplicação a):
Uma transformação linear deve satisfazer duas condições:
Aditividade:
Homogeneidade:
Vamos testar a aditividade para essa aplicação:
Seja e . Então:
Por outro lado:
Claramente, , porque há termos extras . Portanto, a aplicação a)não é linear.
Passo 3
Agora, vamos verificar a aplicação b):
Vamos testar as duas propriedades da linearidade.
Aditividade:
Seja e . Então:
Homogeneidade:
Para um escalar :
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a aplicação b)é uma transformação linear.