Quais das aplicações abaixo são transformações lineares:
a)
tal que
.
b)
tal que
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pergunta quais das duas aplicações são transformações lineares. O assunto aqui é transformações lineares, que são funções que respeitam duas propriedades básicas: aditividade e homogeneidade. Vamos precisar verificar se cada aplicação dada segue essas regras para determinar se são ou não transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a aplicação a):
Uma transformação linear deve satisfazer duas condições:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos testar a aditividade para essa aplicação:
Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Claramente,
, porque há termos extras
. Portanto, a aplicação a) não é linear.
Passo 3
Agora, vamos verificar a aplicação b):
Vamos testar as duas propriedades da linearidade.
Aditividade:
Seja
e
. Então:
Homogeneidade:
Para um escalar
:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, a aplicação b) é uma transformação linear.
Resposta
Apenas a aplicação b) é uma transformação linear.