Resolva os sistemas utilizando Regra de Cramer.
l5 x-2 y+2 z=2 3 x+y+4 z=-1 4 x-3 y+4 z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A gente tem três equações com três incógnitas ( x, y, z). Vamos precisar montar determinantes para achar cada variável separadamente. A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes para resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
5x - 2y + 2z = 2 3x + y + 4z = -1 4x - 3y + 4z = 3

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
D = 5 & -2 & 2 3 & 1 & 4 4 & -3 & 4

Passo 4

Vamos calcular o determinante D. Lembre-se que para uma matriz 3 times 3, o determinante é calculado assim:
D = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando os valores:
D = 5(1 cdot 4 - 4 cdot (-3)) - (-2)(3 cdot 4 - 4 cdot 4) + 2(3 cdot (-3) - 1 cdot 4)
D = 5(4 + 12) - (-2)(12 - 16) + 2(-9 - 4)
D = 5(16) - (-2)(-4) + 2(-13)
D = 80 - 8 - 26 = 46

Passo 5

Agora vamos encontrar Dx, substituindo a coluna de x pelos termos constantes:
Dx = 2 & -2 & 2 -1 & 1 & 4 3 & -3 & 4
Calculando:
Dx = 2(1 cdot 4 - 4 cdot (-3)) - (-2)(-1 cdot 4 - 3 cdot 4) + 2(-1 cdot (-3) - 1 cdot 3)
Dx = 2(4 + 12) - (-2)(-4 - 12) + 2(3 - 3)
Dx = 2(16) - (-2)(-16) + 2(0)
Dx = 32 - 32 + 0 = 0

Passo 6

Agora, vamos encontrar Dy, substituindo a coluna de y pelos termos constantes:
Dy = 5 & 2 & 2 3 & -1 & 4 4 & 3 & 4
Calculando:
Dy = 5(-1 cdot 4 - 4 cdot 3) - 2(3 cdot 4 - 4 cdot 4) + 2(3 cdot 3 - (-1) cdot 4)
Dy = 5(-4 - 12) - 2(12 - 16) + 2(9 + 4)
Dy = 5(-16) - 2(-4) + 2(13)
Dy = -80 + 8 + 26 = -46

Passo 7

Por fim, vamos encontrar Dz, substituindo a coluna de z pelos termos constantes:
Dz = 5 & -2 & 2 3 & 1 & -1 4 & -3 & 3
Calculando:
Dz = 5(1 cdot 3 - (-1) cdot (-3)) - (-2)(3 cdot 3 - 4 cdot (-1)) + 2(3 cdot (-3) - 1 cdot 4)
Dz = 5(3 - 3) - (-2)(9 + 4) + 2(-9 - 4)
Dz = 5(0) - (-2)(13) + 2(-13)
Dz = 0 + 26 - 26 = 0

Resposta

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as incógnitas:
x = DxD = 046 = 0
y = DyD = -4646 = -1
z = DzD = 046 = 0
Então, a solução do sistema é:
x = 0, y = -1, z = 0

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