12 - Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular
é dada em cada caso):
(c.3)
.
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular
(c.3)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati da forma:
E uma solução particular dessa equação:
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando a solução particular fornecida. Para isso, vamos utilizar uma mudança de variável que simplifica a equação de Riccati em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
A equação de Riccati tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Sabemos que, se já temos uma solução particular
, podemos fazer a seguinte mudança de variável:
Isso vai transformar a equação de Riccati em uma equação linear para
.
Passo 3
Vamos substituir
na equação original:
Primeiro, vamos calcular a derivada:
Agora, vamos expandir os termos quadráticos e simplificar:
Simplificando os termos semelhantes, percebemos que muitos se cancelam, restando:
Passo 4
Agora, temos uma equação simplificada:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para:
Passo 5
A equação
é uma equação diferencial linear simples. Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora que temos
, vamos substituir de volta na expressão para
:
Resposta
A solução geral da equação de Riccati dada é:
onde
é uma constante arbitrária.