12 - Equação de Ricatti: A equação
y' + p(t) y + q(t) y^2 = f(t)
onde p(t), q(t) e f(t) são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e q(t) <> 0 em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja y1(t) uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável y(t) = y1(t) + 1/z(t).
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular y1(t) é dada em cada caso):
(c.3) y' + y^2 - (1 + 2e^t)y + e^(2t) = 0, y1(t) = e^t.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati da forma:
E uma solução particular dessa equação: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando a solução particular fornecida. Para isso, vamos utilizar uma mudança de variável que simplifica a equação de Riccati em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

A equação de Riccati tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Sabemos que, se já temos uma solução particular , podemos fazer a seguinte mudança de variável:
Isso vai transformar a equação de Riccati em uma equação linear para .

Passo 3

Vamos substituir na equação original:
Primeiro, vamos calcular a derivada:
Agora, vamos expandir os termos quadráticos e simplificar:
Simplificando os termos semelhantes, percebemos que muitos se cancelam, restando:

Passo 4

Agora, temos uma equação simplificada:
Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para:

Passo 5

A equação é uma equação diferencial linear simples. Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora que temos , vamos substituir de volta na expressão para :

Resposta

A solução geral da equação de Riccati dada é:
onde é uma constante arbitrária.

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