onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.3) .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati da forma:
E uma solução particular dessa equação: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando a solução particular fornecida. Para isso, vamos utilizar uma mudança de variável que simplifica a equação de Riccati em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
A equação de Riccati tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Sabemos que, se já temos uma solução particular , podemos fazer a seguinte mudança de variável:
Isso vai transformar a equação de Riccati em uma equação linear para .
Passo 3
Vamos substituir na equação original:
Primeiro, vamos calcular a derivada:
Agora, vamos expandir os termos quadráticos e simplificar:
Simplificando os termos semelhantes, percebemos que muitos se cancelam, restando:
Passo 4
Agora, temos uma equação simplificada:
Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para:
Passo 5
A equação é uma equação diferencial linear simples. Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Agora que temos , vamos substituir de volta na expressão para :