Seja
Calcule , obtenha seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função por partes e precisa encontrar a derivada dela, , além de determinar onde essa derivada está definida, ou seja, o domínio de .
Aqui, o conteúdo envolve cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções definidas por partes. Vamos precisar saber como derivar funções polinomiais e entender como o domínio da derivada se relaciona com o domínio da função original.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar cada parte da função :
Cada “caso” define em um intervalo diferente de . Nossa tarefa é derivar cada uma dessas expressões separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: para .
A derivada de é simplesmente 2, porque a derivada de em relação a é . Então,

Passo 4

Agora, a segunda parte: para .
Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de é 2.
  • A derivada de é .
Então, a derivada total é:

Passo 5

Por fim, a terceira parte: para .
Derivando cada termo:
  • A derivada de 2 é 0, porque números constantes têm derivada zero.
  • A derivada de é .
Então,

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo para escrever a derivada completa :

Passo 7

Por fim, vamos determinar o domínio de . O domínio da derivada é o conjunto de todos os onde a derivada está definida.
Neste caso, está definida para todo , exceto possivelmente nos pontos onde a função original muda de expressão, ou seja, em e . Nesses pontos, precisamos verificar se a derivada existe.
No entanto, como as derivadas à esquerda e à direita desses pontos não são iguais ( vs em e vs em ), a derivada não está definida nesses pontos.
Então, o domínio de é:
í

Resposta

A derivada de é
e seu domínio é todos os reais exceto e .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Seja
é derivável em ? E em ? Justifique.
12 - Equação de Ricatti: A equação
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.3) .
12 - Equação de Ricatti: A equação
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.2) ,