Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função por partes e precisa encontrar a derivada dela, , além de determinar onde essa derivada está definida, ou seja, o domínio de .
Aqui, o conteúdo envolve cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções definidas por partes. Vamos precisar saber como derivar funções polinomiais e entender como o domínio da derivada se relaciona com o domínio da função original.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar cada parte da função :
Cada “caso” define em um intervalo diferente de . Nossa tarefa é derivar cada uma dessas expressões separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte: para .
A derivada de é simplesmente 2, porque a derivada de em relação a é . Então,
Passo 4
Agora, a segunda parte: para .
Vamos derivar cada termo separadamente:
A derivada de é 2.
A derivada de é .
Então, a derivada total é:
Passo 5
Por fim, a terceira parte: para .
Derivando cada termo:
A derivada de 2 é 0, porque números constantes têm derivada zero.
A derivada de é .
Então,
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo para escrever a derivada completa :
Passo 7
Por fim, vamos determinar o domínio de . O domínio da derivada é o conjunto de todos os onde a derivada está definida.
Neste caso, está definida para todo , exceto possivelmente nos pontos onde a função original muda de expressão, ou seja, em e . Nesses pontos, precisamos verificar se a derivada existe.
No entanto, como as derivadas à esquerda e à direita desses pontos não são iguais ( vs em e vs em ), a derivada não está definida nesses pontos.