12 - Equação de Ricatti: A equação
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.2) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Riccati que você me enviou. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação de Riccati, que tem a forma geral:
Para resolver essa equação, vamos precisar de uma solução particular dada, que nesse caso é . Vamos usar essa solução para encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação para encaixar na forma padrão da equação de Riccati. Comparando:
com
vemos que:

Passo 3

Sabemos que uma solução particular é . Vamos usar a mudança de variável sugerida:
Nosso objetivo é encontrar que satisfaz uma equação linear.

Passo 4

Substituindo na equação original, vamos calcular :
Agora, substituímos e na equação de Riccati:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos os termos:
Distribuindo os termos:

Passo 6

Agora, vamos agrupar termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:
O termo cancela:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Ou seja:

Passo 9

Agora, temos uma equação diferencial linear para :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 10

Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 11

Integrando ambos os lados em relação a :
Vamos resolver a integral do lado direito. Fazendo a substituição , temos , então:

Passo 12

Substituindo de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 13

Agora, lembrando que , substituímos :
Podemos simplificar a expressão:

Resposta

A solução geral da equação de Riccati dada é:
onde é a constante de integração.

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12 - Equação de Ricatti: A equação
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.3) .
Seja
Calcule , obtenha seu domínio.
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
A temperatura de um ponto A ( ) de uma superficie R é dada por:
Encontre a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção do vetor
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