12 - Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular
é dada em cada caso):
(c.2)
,
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular
(c.2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Riccati que você me enviou. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação de Riccati, que tem a forma geral:
Para resolver essa equação, vamos precisar de uma solução particular dada, que nesse caso é
. Vamos usar essa solução para encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação para encaixar na forma padrão da equação de Riccati. Comparando:
com
vemos que:
Passo 3
Sabemos que uma solução particular é
. Vamos usar a mudança de variável sugerida:
Nosso objetivo é encontrar
que satisfaz uma equação linear.
Passo 4
Substituindo
na equação original, vamos calcular
:
Agora, substituímos
e
na equação de Riccati:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos os termos:
Distribuindo os termos:
Passo 6
Agora, vamos agrupar termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:
O termo
cancela:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Ou seja:
Passo 9
Agora, temos uma equação diferencial linear para
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 10
Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 11
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver a integral do lado direito. Fazendo a substituição
, temos
, então:
Passo 12
Substituindo de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 13
Agora, lembrando que
, substituímos
:
Podemos simplificar a expressão:
Resposta
A solução geral da equação de Riccati dada é:
onde
é a constante de integração.