onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.2) ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Riccati que você me enviou. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação de Riccati, que tem a forma geral:
Para resolver essa equação, vamos precisar de uma solução particular dada, que nesse caso é . Vamos usar essa solução para encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação para encaixar na forma padrão da equação de Riccati. Comparando:
com
vemos que:
Passo 3
Sabemos que uma solução particular é . Vamos usar a mudança de variável sugerida:
Nosso objetivo é encontrar que satisfaz uma equação linear.
Passo 4
Substituindo na equação original, vamos calcular :
Agora, substituímos e na equação de Riccati:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos os termos:
Distribuindo os termos:
Passo 6
Agora, vamos agrupar termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:
O termo cancela:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Ou seja:
Passo 9
Agora, temos uma equação diferencial linear para :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Passo 10
Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Passo 11
Integrando ambos os lados em relação a :
Vamos resolver a integral do lado direito. Fazendo a substituição , temos , então: