Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos calcular a sua derivada. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente utilizando as regras de derivação como a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da função. Temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra:
  • A função externa é , onde .
  • A função interna é .
Para derivar , vamos usar a regra da cadeia, que serve exatamente para derivar funções compostas.

Passo 3

A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada dela é . Aplicando isso aqui:
Onde .

Passo 4

Vamos derivar a função externa . A derivada de em relação a é:
Então, a primeira parte da nossa regra da cadeia fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna . Aplicamos a derivada da potência:
E a derivada de é . Então:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes usando a regra da cadeia:
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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Seja
é derivável em ? E em ? Justifique.
Determine dois números positivos cujo produto seja 192 e a soma do primeiro com o triplo do segundo seja mínima.
Seja
Calcule , obtenha seu domínio.
12 - Equação de Ricatti: A equação
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.3) .