Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas. f(x) = tgh((1 + x^2)^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos calcular a sua derivada. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente utilizando as regras de derivação como a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da função. Temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra:
  • A função externa é , onde .
  • A função interna é .
Para derivar , vamos usar a regra da cadeia, que serve exatamente para derivar funções compostas.

Passo 3

A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada dela é . Aplicando isso aqui:
Onde .

Passo 4

Vamos derivar a função externa . A derivada de em relação a é:
Então, a primeira parte da nossa regra da cadeia fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna . Aplicamos a derivada da potência:
E a derivada de é . Então:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes usando a regra da cadeia:
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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