Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisamos calcular a sua derivada. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente utilizando as regras de derivação como a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da função. Temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra:
- A função externa é
, onde . - A função interna é
.
Para derivar
, vamos usar a regra da cadeia, que serve exatamente para derivar funções compostas.
Passo 3
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, a derivada dela é
. Aplicando isso aqui:
Onde
.
Passo 4
Vamos derivar a função externa
. A derivada de
em relação a
é:
Então, a primeira parte da nossa regra da cadeia fica:
Passo 5
Agora, vamos derivar a função interna
. Aplicamos a derivada da potência:
E a derivada de
é
. Então:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes usando a regra da cadeia:
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Resposta
A derivada da função é: