Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
m y'' + gamma y' + k y = 0, m, gamma, k > 0

Passo 1

Beleza, vamos por partes! Você pediu para encontrar a solução geral da equação diferencial
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar entender como achar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos aqui. A equação
é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso significa que todas as derivadas de estão presentes e os coeficientes são constantes.

Passo 3

Para resolver essa equação, a gente usa a equação característica. A gente assume que a solução tem a forma , onde é um número que vamos determinar. Substituindo essa forma na equação diferencial, temos:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero), sobra a equação característica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes e :
O valor dentro da raiz quadrada, , é chamado de discriminante e vai determinar o tipo das soluções.

Passo 5

Vamos analisar os casos com base no discriminante :
  1. Se : Temos duas raízes reais e distintas e . A solução geral é:
  2. Se : As duas raízes são reais e iguais . A solução geral é:
  3. Se : As raízes são complexas conjugadas . Nesse caso, a solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde:
  • e são constantes de integração.

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