Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! Você pediu para encontrar a solução geral da equação diferencial
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar entender como achar a solução geral usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos aqui. A equação
é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso significa que todas as derivadas de
estão presentes e os coeficientes
são constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente usa a equação característica. A gente assume que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos determinar. Substituindo essa forma na equação diferencial, temos:
Dividindo todos os termos por
(que nunca é zero), sobra a equação característica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes
e
:
O valor dentro da raiz quadrada,
, é chamado de discriminante e vai determinar o tipo das soluções.
Passo 5
Vamos analisar os casos com base no discriminante
:
-
Se
: Temos duas raízes reais e distintas e . A solução geral é: -
Se
: As duas raízes são reais e iguais . A solução geral é: -
Se
: As raízes são complexas conjugadas . Nesse caso, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é dada por:
onde:
-
-
-
-
-
e são constantes de integração.