A temperatura de um ponto A ( x . y ) de uma superficie R é dada por:
T(x, y) = x*y / (1 + x^2 + y^2)
Encontre a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção do vetor
r = 2i - j
CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO
raiz(2) / 13
``` raiz(2) raiz(5 / 5) raiz(5) raiz(5) / 45 ```

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a taxa de variação da temperatura no ponto (1,1) na direção do vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e derivada direcional. Ou seja, precisamos calcular como a temperatura muda nesse ponto específico e nessa direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função de temperatura . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1,1):
Então, o gradiente em (1,1) é:

Passo 5

Para encontrar a derivada direcional, precisamos normalizar o vetor direção para obter um vetor unitário :

Passo 6

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção do vetor é 0.

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