A temperatura de um ponto A ( ) de uma superficie R é dada por:
Encontre a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção do vetor
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a taxa de variação da temperatura no ponto (1,1) na direção do vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e derivada direcional. Ou seja, precisamos calcular como a temperatura muda nesse ponto específico e nessa direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função de temperatura . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1,1):
Então, o gradiente em (1,1) é:
Passo 5
Para encontrar a derivada direcional, precisamos normalizar o vetor direção para obter um vetor unitário:
Passo 6
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção do vetor é 0.