A temperatura de um ponto A ( ) de uma superficie R é dada por:
Encontre a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção do vetor
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a taxa de variação da temperatura no ponto (1,1) na direção do vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e derivada direcional. Ou seja, precisamos calcular como a temperatura muda nesse ponto específico e nessa direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função de temperatura . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1,1):
Então, o gradiente em (1,1) é:

Passo 5

Para encontrar a derivada direcional, precisamos normalizar o vetor direção para obter um vetor unitário :

Passo 6

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção do vetor é 0.

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Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
12 - Equação de Ricatti: A equação
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
c) Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.2) ,
Encontre um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial , onde e são números reais diferentes de zero.
Se as funções e são soluções linearmente independentes de , prove que e também formam um conjunto linearmente independente de soluções. Vale a recíproca deste resultado?