12
Existe T in L(F^2) tal que T(1,-1)=(1,0), T(2,-1)=(0,1) e T(-3,2)= (1,1) ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que atua em vetores do espaço (imagine um plano). A pergunta é: existe essa transformação que transforma o vetor em , o vetor em e o vetor em ? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como elas funcionam com sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que , onde é um vetor em . Nossa tarefa é encontrar se existe uma matriz que satisfaz as condições dadas.

Passo 3

Vamos supor que a matriz A = a & b c & d seja:
A 1 -1 = 1 0 , A 2 -1 = 0 1 , A -3 2 = 1 1
Então, para cada vetor dado, temos:
Isso nos dá um sistema de equações para os valores de .

Passo 4

Vamos escrever as equações:
Para a(1) + b(-1) = 1 Rightarrow a - b = 1 (1) :
c(1) + d(-1) = 0 Rightarrow c - d = 0 (2)
2a + (-1)b = 0 Rightarrow 2a - b = 0 (3)
Para 2c + (-1)d = 1 Rightarrow 2c - d = 1 (4) :
-3a + 2b = 1 (5)
-3c + 2d = 1 (6)
Para :

Passo 5

Vamos resolver as equações passo a passo. Primeiro, das equações (1) e (3):
Da equação (1): (2a - b) - (a - b) = 0 - 1 2a - b - a + b = -1 a = -1
Da equação (3): -1 - b = 1 -b = 2 b = -2
Subtraindo a equação (1) da equação (3):
Substituindo na equação (1):

Passo 6

Agora, vamos resolver para 2d - d = 1 d = 1 c = 1 e usando as equações (2) e (4):
Da equação (2):
Da equação (4):
Substituindo na equação (4):

Passo 7

Agora que temos -3(-1) + 2(-2) = 3 - 4 = -1 neq 1 (não satisfaz) , -3(1) + 2(1) = -3 + 2 = -1 neq 1 (não satisfaz) , e , vamos verificar se satisfazem também as equações (5) e (6):
Para a equação (5):
ã
Para a equação (6):
ã

Resposta

Não, não existe uma transformação linear que satisfaça todas as condições dadas.

Exercícios relacionados