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Existe tal que e

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que atua em vetores do espaço (imagine um plano). A pergunta é: existe essa transformação que transforma o vetor em , o vetor em e o vetor em ? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como elas funcionam com sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que , onde é um vetor em . Nossa tarefa é encontrar se existe uma matriz que satisfaz as condições dadas.

Passo 3

Vamos supor que a matriz seja:
Então, para cada vetor dado, temos:
Isso nos dá um sistema de equações para os valores de .

Passo 4

Vamos escrever as equações:
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Vamos resolver as equações passo a passo. Primeiro, das equações (1) e (3):
Da equação (1):
Da equação (3):
Subtraindo a equação (1) da equação (3):
Substituindo na equação (1):

Passo 6

Agora, vamos resolver para e usando as equações (2) e (4):
Da equação (2):
Da equação (4):
Substituindo na equação (4):

Passo 7

Agora que temos , , e , vamos verificar se satisfazem também as equações (5) e (6):
Para a equação (5):
ã
Para a equação (6):
ã

Resposta

Não, não existe uma transformação linear que satisfaça todas as condições dadas.

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Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
e
Ache o ângulo entre os planos e (resp. ou
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(d) .
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(f) .