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Existe
tal que
e
Existe
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
que atua em vetores do espaço
(imagine um plano). A pergunta é: existe essa transformação
que transforma o vetor
em
, o vetor
em
e o vetor
em
? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares e como elas funcionam com sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
tal que
, onde
é um vetor em
. Nossa tarefa é encontrar se existe uma matriz
que satisfaz as condições dadas.
Passo 3
Vamos supor que a matriz
seja:
Então, para cada vetor dado, temos:
Isso nos dá um sistema de equações para os valores de
.
Passo 4
Vamos escrever as equações:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos resolver as equações passo a passo. Primeiro, das equações (1) e (3):
Da equação (1):
Da equação (3):
Da equação (3):
Subtraindo a equação (1) da equação (3):
Substituindo
na equação (1):
Passo 6
Agora, vamos resolver para
e
usando as equações (2) e (4):
Da equação (2):
Da equação (4):
Da equação (4):
Substituindo
na equação (4):
Passo 7
Agora que temos
,
,
e
, vamos verificar se satisfazem também as equações (5) e (6):
Para a equação (5):
Para a equação (6):
Resposta
Não, não existe uma transformação linear
que satisfaça todas as condições dadas.
Exercícios relacionados
Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
e
Ache o ângulo entre os planos
e
(resp.
ou
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(d) .
(d)
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(f) .
(f)