Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(f) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar, se existirem, os autovalores e autovetores da transformação linear . Além disso, se existirem, temos que determinar o autoespaço generalizado. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Como mapeia para , a matriz associada é:
Essa é uma matriz diagonal, onde os elementos fora da diagonal principal são zero.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Como é diagonal, a equação característica é fácil de resolver:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , resolvemos a equação , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo , temos:
Isso implica que e . O autovetor correspondente é qualquer vetor da forma , onde . Podemos escolher, por exemplo:
Para :
Resolvendo , temos:
Isso implica que e . O autovetor correspondente é qualquer vetor da forma , onde . Podemos escolher, por exemplo:
Para :
Resolvendo , temos:
Isso implica que e . O autovetor correspondente é qualquer vetor da forma , onde . Podemos escolher, por exemplo:
Passo 5
Agora, vamos determinar os autoespaços generalizados para cada autovalor. Como a matriz é diagonal, não há necessidade de considerar vetores generalizados além dos próprios autovetores. Ou seja, o autoespaço generalizado para cada autovalor coincide com o espaço gerado pelo respectivo autovetor.
Resposta
Os autovalores de são , e .
Os autovetores correspondentes são:
Os autoespa��os generalizados coincidem com os autoespaços próprios para cada autovalor.