Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar, se existirem, os autovalores e autovetores da transformação linear . Além disso, se existirem, temos que determinar o autoespaço generalizado. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Como mapeia para , a matriz associada é:
Essa é uma matriz diagonal, onde os elementos fora da diagonal principal são zero.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Como é diagonal, a equação característica é fácil de resolver:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , resolvemos a equação , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo , temos:
Isso implica que e . O autovetor correspondente é qualquer vetor da forma , onde . Podemos escolher, por exemplo:
Para :
Resolvendo , temos:
Isso implica que e . O autovetor correspondente é qualquer vetor da forma , onde . Podemos escolher, por exemplo:
Para :
Resolvendo , temos:
Isso implica que e . O autovetor correspondente é qualquer vetor da forma , onde . Podemos escolher, por exemplo:

Passo 5

Agora, vamos determinar os autoespaços generalizados para cada autovalor. Como a matriz é diagonal, não há necessidade de considerar vetores generalizados além dos próprios autovetores. Ou seja, o autoespaço generalizado para cada autovalor coincide com o espaço gerado pelo respectivo autovetor.

Resposta

Os autovalores de são , e .
Os autovetores correspondentes são:
Os autoespa��os generalizados coincidem com os autoespaços próprios para cada autovalor.

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Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(d) .
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Existe tal que e
Para cada uma das elipse dadas determinar:
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
Por que a reta não é um subespaço do ?