Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(f) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar, se existirem, os autovalores e autovetores da transformação linear . Além disso, se existirem, temos que determinar o autoespaço generalizado. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Como mapeia para , a matriz associada é:
Essa é uma matriz diagonal, onde os elementos fora da diagonal principal são zero.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de det 1 - lambda & 0 & 0 0 & 2 - lambda & 0 0 & 0 & -1 - lambda = (1 - lambda)(2 - lambda)(-1 - lambda) = 0 que satisfazem a equação característica:
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = -1
Onde é a matriz identidade. Como é diagonal, a equação característica é fácil de resolver:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada (A - I) = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 , resolvemos a equação 0v1 + 0v2 + 0v3 = 0 0v1 + 1v2 + 0v3 = 0 0v1 + 0v2 - 2v3 = 0 , onde v1 = (1, 0, 0) é o autovetor.
Isso implica que 2v1 + 0v2 + 0v3 = 0 0v1 + 3v2 + 0v3 = 0 0v1 + 0v2 + 0v3 = 0 e v3 = (0, 0, 1) . O autovetor correspondente é qualquer vetor da forma , onde . Podemos escolher, por exemplo:
Para :
Resolvendo , temos:
Isso implica que e . O autovetor correspondente é qualquer vetor da forma , onde . Podemos escolher, por exemplo:
Para :
Resolvendo , temos:
Isso implica que e . O autovetor correspondente é qualquer vetor da forma , onde . Podemos escolher, por exemplo:
Passo 5
Agora, vamos determinar os autoespaços generalizados para cada autovalor. Como a matriz é diagonal, não há necessidade de considerar vetores generalizados além dos próprios autovetores. Ou seja, o autoespaço generalizado para cada autovalor coincide com o espaço gerado pelo respectivo autovetor.
Resposta
Os autovalores de v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1) são , e .
Os autovetores correspondentes são:
Os autoespa��os generalizados coincidem com os autoespaços próprios para cada autovalor.