Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
r:x=y-32=z-2 e s:x-3=y+12=z-2
(resp d(r, s)=5 raiz306)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre duas retas paralelas no espaço. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, especificamente o cálculo de distância entre retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como representar retas no espaço e aplicar a fórmula da distância entre retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma mais fácil de trabalhar. As retas estão dadas na forma simétrica:
  • Reta :
  • Reta :
Aqui, identificamos que as retas são paralelas porque os coeficientes diretores são iguais: .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor que vá de um ponto em uma reta até um ponto na outra reta. Vamos escolher pontos fáceis:
  • Ponto PQ = Q - P = (3 - 0, -1 - 3, 2 - 2) = (3, -4, 0) na reta : quando , então e . Então, .
  • Ponto na reta : quando , então e . Então, .
O vetor é dado por:

Passo 4

Para calcular a distância entre as retas paralelas, usamos a fórmula:
d = |PQ cdot n||d|
Onde é um vetor normal ao plano formado pelas duas retas. Como as retas são paralelas, pode ser qualquer vetor que seja perpendicular ao vetor diretor .

Passo 5

Mas uma maneira mais direta é usar a seguinte fórmula para a distância entre duas retas paralelas:
d = |PQ times d||d|
Aqui, representa o produto vetorial e é a norma (ou comprimento) do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial PQ = (3, -4, 0) e d = (1, 2, 1) :
PQ times d = i & j & k 3 & -4 & 0 1 & 2 & 1 = i((-4)(1) - (0)(2)) - j((3)(1) - (0)(1)) + k((3)(2) - (-4)(1))
= i(-4) - j(3) + k(6 + 4) = (-4, -3, 10)

Passo 7

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
|PQ times d| = raiz(-4)^2 + (-3)^2 + 10^2 = raiz16 + 9 + 100 = raiz125 = 5raiz5
E a norma do vetor diretor |d| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 5raiz5raiz6 = 5raiz306

Resposta

A distância entre as retas e é .

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