Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre duas retas paralelas no espaço. O conteúdo que vamos usar aqui envolve geometria analítica, especificamente o cálculo de distância entre retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como representar retas no espaço e aplicar a fórmula da distância entre retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de uma forma mais fácil de trabalhar. As retas estão dadas na forma simétrica:
  • Reta :
  • Reta :
Aqui, identificamos que as retas são paralelas porque os coeficientes diretores são iguais: .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor que vá de um ponto em uma reta até um ponto na outra reta. Vamos escolher pontos fáceis:
  • Ponto na reta : quando , então e . Então, .
  • Ponto na reta : quando , então e . Então, .
O vetor é dado por:

Passo 4

Para calcular a distância entre as retas paralelas, usamos a fórmula:
Onde é um vetor normal ao plano formado pelas duas retas. Como as retas são paralelas, pode ser qualquer vetor que seja perpendicular ao vetor diretor .

Passo 5

Mas uma maneira mais direta é usar a seguinte fórmula para a distância entre duas retas paralelas:
Aqui, representa o produto vetorial e é a norma (ou comprimento) do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial :

Passo 7

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
E a norma do vetor diretor :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:

Resposta

A distância entre as retas e é .

Exercícios relacionados

Ache o ângulo entre os planos e (resp. ou
Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos e e que dista 1 da reta .
12
Existe tal que e
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(d) .