Ache o ângulo entre os planos pi1:x-y+z-20=0 e pi2:x+y+z+3=0 (resp. cos theta=13 ou theta=arccos (13))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois planos dados pelas equações:
pi1: x - y + z - 20 = 0 e pi2: x + y + z + 3 = 0
Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais aos planos e como calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de n1 = 1 -1 1 , n2 = 1 1 1 e na equação do plano.
Então, para o plano :
E para o plano :

Passo 3

Agora que temos os vetores normais, o próximo passo é usar a fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores. A fórmula é:
cos theta = n1 cdot n2|n1| cdot |n2|
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar dos vetores:
n1 cdot n2 = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1
Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores:
|n1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
|n2| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 1raiz3 cdot raiz3 = 13
Para encontrar o ângulo theta = arccos(13) , aplicamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os planos é ou .

Exercícios relacionados