Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de T em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(d) T(x, y)=(2 x+3 y,-x-2 y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear . Também precisamos determinar o autoespaço generalizado se os autovalores existirem. O conteúdo que vamos usar aqui envolve entender o que são autovalores e autovetores, além de como calculá-los usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T x y = 2x + 3y -x - 2y como uma matriz. Para isso, observamos como A = 2 & 3 -1 & -2 transforma o vetor :
Então, a matriz associada à transformação é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
onde representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando A - lambda I = 2 - lambda & 3 -1 & -2 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(-2 - lambda) - (-1)(3) = (lambda^2 - 4) + 3 = lambda^2 - 1
O determinante dessa matriz é:

Passo 5

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 1 = 0 implies lambda = 1 ou lambda = -1
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Vamos encontrar agora os autovetores para cada autovalor.
Para 2 - 1 & 3 -1 & -2 -1 x y = 1 & 3 -1 & -3 x y = 0 0 :
Substituímos na equação x + 3y = 0 -x - 3y = 0 :
v1 = -3 1
Isso nos dá o sistema:
2 - (-1) & 3 -1 & -2 - (-1) x y = 3 & 3 -1 & -1 x y = 0 0
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escrever 3x + 3y = 0 -x - y = 0 . Um autovetor associado a v2 = -1 1 é:
Para :
Substituímos na equação :
Isso nos dá o sistema:
Novamente, ambas as equações são equivalentes, então podemos escrever . Um autovetor associado a é:

Resposta

Os autovalores de -3 1 são -1 1 com o autovetor e com o autovetor . O autoespaço generalizado é a combinação direta dos autoespaços correspondentes a cada autovalor.

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