Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear . Também precisamos determinar o autoespaço generalizado se os autovalores existirem. O conteúdo que vamos usar aqui envolve entender o que são autovalores e autovetores, além de como calculá-los usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Para isso, observamos como transforma o vetor :
Então, a matriz associada à transformação é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
onde representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando :
O determinante dessa matriz é:

Passo 5

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Vamos encontrar agora os autovetores para cada autovalor.
Para :
Substituímos na equação :
Isso nos dá o sistema:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escrever . Um autovetor associado a é:
Para :
Substituímos na equação :
Isso nos dá o sistema:
Novamente, ambas as equações são equivalentes, então podemos escrever . Um autovetor associado a é:

Resposta

Os autovalores de são com o autovetor e com o autovetor . O autoespaço generalizado é a combinação direta dos autoespaços correspondentes a cada autovalor.

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12
Existe tal que e
Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
e
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(f) .
Para cada uma das elipse dadas determinar:
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.