Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear
. Também precisamos determinar o autoespaço generalizado se os autovalores existirem. O conteúdo que vamos usar aqui envolve entender o que são autovalores e autovetores, além de como calculá-los usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação
como uma matriz. Para isso, observamos como
transforma o vetor
:
Então, a matriz associada à transformação
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de
, precisamos resolver a equação característica:
onde
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 4
Calculando
:
O determinante dessa matriz é:
Passo 5
Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 6
Vamos encontrar agora os autovetores para cada autovalor.
Para
:
Substituímos na equação
:
Isso nos dá o sistema:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escrever
. Um autovetor associado a
é:
Para
:
Substituímos na equação
:
Isso nos dá o sistema:
Novamente, ambas as equações são equivalentes, então podemos escrever
. Um autovetor associado a
é:
Resposta
Os autovalores de
são
com o autovetor
e
com o autovetor
. O autoespaço generalizado é a combinação direta dos autoespaços correspondentes a cada autovalor.
Exercícios relacionados
12
Existe tal que
e
Existe
Calcule a distância entre as retas paralelas nos casos:
e
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(f) .
(f)
Para cada uma das elipse dadas determinar:
- o comprimento do semi-eixo maior;
- o comprimento do semi-eixo menor;
- as coordenadas dos focos;
- a excentricidade.