1. f'(x) = 2 / (x ln 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a derivada da função e precisa descobrir qual é a função original . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é basicamente o processo contrário da derivação. Então, vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que representa :
Aqui, estamos dizendo que é a integral de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que é uma constante, então podemos tirá-la para fora da integral:
Isso facilita nosso cálculo, pois agora temos uma integral mais simples para resolver.

Passo 4

A segunda integral que temos é , que é uma integral padrão. Sabemos que:
Onde é a constante de integração, que sempre aparece quando fazemos integrais indefinidas.

Passo 5

Substituindo de volta na nossa expressão original, temos:
Simplificando, ficamos com:
Como é positivo no contexto de logaritmos, podemos simplificar para:

Resposta

A função original é:

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