1. f'(x) = ((1 + 4 x cos(2 x) + 6 x sen(3 x)) * e^(sen(2 x))) / (2 e^(cos(3 x)) * raiz(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá a derivada de uma função, ou seja, . Nosso objetivo aqui é encontrar a função original . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que é o processo inverso da derivada. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para achar a partir de , devemos integrar a expressão dada. A integração nos ajuda a “desfazer” a derivada e recuperar a função original. Então, vamos escrever a integral:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Observamos que podemos dividir o numerador e o denominador por 2:

Passo 4

Agora, vamos olhar mais de perto para a parte do integrando. Temos uma função complicada, mas podemos tentar separar os termos para integrar cada parte individualmente. Vamos dividir a integral em três partes:

Passo 5

Vamos simplificar cada uma dessas integrais separadamente. Note que . Então, reescrevemos:

Passo 6

Agora, vamos notar que . Então, a expressão fica:

Passo 7

Essas integrais ainda são bastante complicadas e não têm soluções simples em termos de funções elementares. Portanto, para expressar , podemos deixá-las na forma de integrais definidas ou utilizar métodos numéricos para resolver se um valor específico de for dado. Assim, a função em termos de integrais fica:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função é dada por:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Derive as funções dos exercícios 25 . a 27 .
f(x) = tanh(sen(x))
Calcule y' nos exercícios 17. a 19 .
ln((x/y)+(y/x))=5
  1. f'(x) = 2 / (x ln 2)
  1. y' = 1/(2 - ln(2))