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A Lei de Resfriamento de Newton estabelece como a temperatura de um corpo,
, imersa em um ambiente com temperatura constante
, se relacionam em função do tempo:
onde
é uma constante, a constante de resfriamento, que depende de condições especificas ao meio e ao corpo. Sabendo-se que a temperatura do corpo, no instante
, é
, ou seja, tem-se a condição inicial
, mostre que a temperatura do corpo varia de acordo com:
A Lei de Resfriamento de Newton estabelece como a temperatura de um corpo,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a temperatura de um corpo com o ambiente ao seu redor ao longo do tempo. A gente precisa mostrar que a temperatura do corpo,
, varia conforme a fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais e como resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem. Então, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
Aqui,
é a temperatura do corpo no tempo
,
é a temperatura constante do ambiente, e
é uma constante positiva que depende das condições específicas.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Isso facilita identificar o fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 4
Vamos encontrar o fator integrante,
, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Assim, podemos escrever:
Isso simplifica bastante a equação!
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração.
Passo 7
Então, temos:
Agora, vamos isolar
:
Passo 8
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituímos
de volta na expressão para
:
Resposta
A temperatura do corpo varia de acordo com:
Exercícios relacionados
Calcule os limites (pode utilizar derivadas!)
Resp:
Encontre os limites:
Calcule as derivadas:
Resp:
Suponha que um campo vetorial
de classe
(ou seja,
). É verdade que para toda superfície fechada
,