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A Lei de Resfriamento de Newton estabelece como a temperatura de um corpo, , imersa em um ambiente com temperatura constante , se relacionam em função do tempo:
onde é uma constante, a constante de resfriamento, que depende de condições especificas ao meio e ao corpo. Sabendo-se que a temperatura do corpo, no instante , é , ou seja, tem-se a condição inicial , mostre que a temperatura do corpo varia de acordo com:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a temperatura de um corpo com o ambiente ao seu redor ao longo do tempo. A gente precisa mostrar que a temperatura do corpo, , varia conforme a fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais e como resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem. Então, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
Aqui, é a temperatura do corpo no tempo , é a temperatura constante do ambiente, e é uma constante positiva que depende das condições específicas.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Isso facilita identificar o fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 4

Vamos encontrar o fator integrante, , que é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Assim, podemos escrever:
Isso simplifica bastante a equação!

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é , onde é a constante de integração.

Passo 7

Então, temos:
Agora, vamos isolar :

Passo 8

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :
Resolvendo para :

Passo 9

Substituímos de volta na expressão para :

Resposta

A temperatura do corpo varia de acordo com:

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Calcule os limites (pode utilizar derivadas!) Resp:
Encontre os limites:
Calcule as derivadas: Resp:
Suponha que um campo vetorial de classe (ou seja, ). É verdade que para toda superfície fechada ,