Calcule os limites (pode utilizar derivadas!) lim x 4 sen(x-4)x-4( Resp: =1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite lim x 4 sen(x-4)x-4. Aqui, estamos trabalhando com limites, que é uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções trigonométricas e também conhecer um pouquinho sobre derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo. Vamos fazer uma substituição: seja u = x - 4. Assim, quando x se aproxima de 4, u se aproxima de 0. Nosso limite fica então:
limu 0 sen(u)u

Passo 3

Esse limite é um resultado clássico no cálculo que todo mundo aprende:
limu 0 sen(u)u = 1
Isso porque, graficamente, o seno de um ângulo muito pequeno (em radianos) é aproximadamente igual ao próprio ângulo, ou seja, sen(u) approx u quando u é perto de 0.

Passo 4

Outra maneira de ver isso é usando a derivada da função seno. Sabemos que:
ddu sen(u) = cos(u)
E especificamente em u = 0 temos:
cos(0) = 1
Isso confirma que o limite é igual a 1.

Resposta

=1

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