Calcule os limites (pode utilizar derivadas!) Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites, que é uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções trigonométricas e também conhecer um pouquinho sobre derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo. Vamos fazer uma substituição: seja . Assim, quando se aproxima de 4, se aproxima de 0. Nosso limite fica então:

Passo 3

Esse limite é um resultado clássico no cálculo que todo mundo aprende:
Isso porque, graficamente, o seno de um ângulo muito pequeno (em radianos) é aproximadamente igual ao próprio ângulo, ou seja, quando é perto de 0.

Passo 4

Outra maneira de ver isso é usando a derivada da função seno. Sabemos que:
E especificamente em temos:
Isso confirma que o limite é igual a 1.

Resposta

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onde é uma constante, a constante de resfriamento, que depende de condições especificas ao meio e ao corpo. Sabendo-se que a temperatura do corpo, no instante , é , ou seja, tem-se a condição inicial , mostre que a temperatura do corpo varia de acordo com:
Calcule as derivadas: Resp: