Encontre os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em funções de várias variáveis, um tópico importante no cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites, as propriedades das funções exponenciais e trigonométricas, e como elas se comportam quando suas variáveis se aproximam de certos valores.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a expressão pode ser reescrita como . Isso nos ajuda a separar as partes da função e analisar o comportamento de cada uma quando
se aproxima de
.
Passo 3
Sabemos que
. Isso porque a função exponencial
é contínua em todo o seu domínio, e o limite dela quando
se aproxima de 0 é simplesmente o valor da função em 0.
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de quando
se aproxima de 0. Um resultado padrão do cálculo diz que . Esse limite é frequentemente usado para derivar a derivada de .
Passo 5
Como os limites das duas partes que se multiplicam existem e são iguais a 1, podemos multiplicar esses limites individuais para encontrar o limite total da expressão original. Ou seja:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Considere
. Seja
a esfera unitária definida por
com vetor normal apontando para fora. Calcule
Calcule
, onde
onde
e
.
Calcule os limites (pode utilizar derivadas!)
Resp:
12
A Lei de Resfriamento de Newton estabelece como a temperatura de um corpo, , imersa em um ambiente com temperatura constante
, se relacionam em função do tempo:
A Lei de Resfriamento de Newton estabelece como a temperatura de um corpo,
onde
é uma constante, a constante de resfriamento, que depende de condições especificas ao meio e ao corpo. Sabendo-se que a temperatura do corpo, no instante
, é
, ou seja, tem-se a condição inicial
, mostre que a temperatura do corpo varia de acordo com: