Suponha que um campo vetorial
de classe
(ou seja,
). É verdade que para toda superfície fechada
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se, para qualquer superfície fechada
, a integral da “rotacional” de um campo vetorial
sobre essa superfície é igual a zero. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Vetorial, mais especificamente os conceitos de campo vetorial, rotacional (ou curl) e integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar lembrar do Teorema de Stokes e entender o que significa uma superfície ser fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência do campo de “girlar” ao redor de um ponto. A integral de superfície do rotacional,
, basicamente soma esse giro ao redor de toda a superfície
.
Passo 3
Agora, vamos trazer o Teorema de Stokes para a jogada. Esse teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de
com a integral de linha de
ao longo da borda da superfície
. Matematicamente, é escrito assim:
Passo 4
Mas a questão menciona que
é uma superfície fechada. Uma superfície fechada, como uma esfera ou um cubo, não tem borda. Ou seja, a “linha de contorno”
é vazia. Quando aplicamos isso ao Teorema de Stokes, a integral de linha sobre uma borda vazia é simplesmente zero:
Passo 5
Substituindo isso de volta no Teorema de Stokes, temos:
Isso mostra que, para qualquer superfície fechada
, a integral da rotacional de
sobre
é de fato zero.
Resposta
Sim, para toda superfície fechada
, temos que
.