Suponha que um campo vetorial F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k de classe C^2 (ou seja, P, Q, R in C^2 ). É verdade que para toda superfície fechada S,
integral duplaS(nabla times F) d S=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se, para qualquer superfície fechada , a integral da “rotacional” de um campo vetorial sobre essa superfície é igual a zero. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Vetorial, mais especificamente os conceitos de campo vetorial, rotacional (ou curl) e integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar lembrar do Teorema de Stokes e entender o que significa uma superfície ser fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , mede a tendência do campo de “girlar” ao redor de um ponto. A integral de superfície do rotacional, , basicamente soma esse giro ao redor de toda a superfície .

Passo 3

Agora, vamos trazer o Teorema de Stokes para a jogada. Esse teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de integral duplaS (nabla times F) , dS = ointpartial S F cdot dr com a integral de linha de ao longo da borda da superfície . Matematicamente, é escrito assim:

Passo 4

Mas a questão menciona que ointpartial S F cdot dr = 0 é uma superfície fechada. Uma superfície fechada, como uma esfera ou um cubo, não tem borda. Ou seja, a “linha de contorno” é vazia. Quando aplicamos isso ao Teorema de Stokes, a integral de linha sobre uma borda vazia é simplesmente zero:

Passo 5

Substituindo isso de volta no Teorema de Stokes, temos:
integral duplaS (nabla times F) , dS = 0
Isso mostra que, para qualquer superfície fechada , a integral da rotacional de sobre é de fato zero.

Resposta

Sim, para toda superfície fechada , temos que .

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