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Sejam A in F^k times n e B in F^n times k, com k <= n. Mostre que det(x In-B A)= x^n-k det(x Ik-AB). Se k=n, então AB e BA possuem o mesmo polinômio característico. O que se pode dizer sobre os autovetores?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, A de dimensão k times n e B de dimensão n times k. O objetivo é mostrar que o determinante de (x In - BA) é igual a x^n-k vezes o determinante de (x Ik - AB). Além disso, se k = n, queremos saber o que podemos dizer sobre os autovetores de AB e BA. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de determinantes e teoria de matrizes, especialmente sobre polinômios característicos e autovetores.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o polinômio característico de uma matriz M é dado por det(xI - M), onde I é a matriz identidade. Queremos relacionar os polinômios característicos de BA e AB.

Passo 3

Primeiro, observamos que BA é uma matriz de dimensão n times n, enquanto AB é de dimensão k times k. Para conectar seus determinantes, consideramos o teorema que relaciona os determinantes de produtos de matrizes retangulares.

Passo 4

Usando o fato de que BA e AB têm os mesmos autovalores não nulos, sabemos que os determinantes de (xIn - BA) e (xIk - AB) estão relacionados. Especificamente, o determinante de BA terá um fator adicional de x elevado à diferença de dimensões, que é n - k.

Passo 5

Assim, temos:
det(x In - BA) = x^n - k det(x Ik - AB)
Isso mostra a relação entre os determinantes dos polinômios característicos de BA e AB.

Passo 6

Agora, se k = n, as matrizes AB e BA são quadradas de mesma dimensão. A igualdade do determinante implica que elas têm o mesmo polinômio característico, ou seja, as mesmas raízes e, portanto, os mesmos autovalores.

Passo 7

Quanto aos autovetores, se k = n, AB e BA não apenas compartilham os mesmos autovalores, mas seus autovetores também estão relacionados. Mais especificamente, se ABv = lambda v para algum vetor v, então BA(Av) = lambda (Av), assumindo que Av neq 0. Isso mostra uma correspondência direta entre os autovetores de AB e BA quando k = n.

Resposta

Quando k = n, as matrizes AB e BA têm o mesmo polinômio característico e, portanto, compartilham os mesmos autovalores. Além disso, existe uma correspondência direta entre os autovetores de AB e BA.

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