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Sejam . Mostre que . Se , então AB e BA possuem o mesmo polinômio característico. O que se pode dizer sobre os autovetores?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, de dimensão e de dimensão . O objetivo é mostrar que o determinante de é igual a vezes o determinante de . Além disso, se , queremos saber o que podemos dizer sobre os autovetores de e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de determinantes e teoria de matrizes, especialmente sobre polinômios característicos e autovetores.
Passo 2
Vamos começar lembrando que o polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é a matriz identidade. Queremos relacionar os polinômios característicos de e .
Passo 3
Primeiro, observamos que é uma matriz de dimensão , enquanto é de dimensão . Para conectar seus determinantes, consideramos o teorema que relaciona os determinantes de produtos de matrizes retangulares.
Passo 4
Usando o fato de que e têm os mesmos autovalores não nulos, sabemos que os determinantes de e estão relacionados. Especificamente, o determinante de terá um fator adicional de elevado à diferença de dimensões, que é .
Passo 5
Assim, temos:
Isso mostra a relação entre os determinantes dos polinômios característicos de e .
Passo 6
Agora, se , as matrizes e são quadradas de mesma dimensão. A igualdade do determinante implica que elas têm o mesmo polinômio característico, ou seja, as mesmas raízes e, portanto, os mesmos autovalores.
Passo 7
Quanto aos autovetores, se , e não apenas compartilham os mesmos autovalores, mas seus autovetores também estão relacionados. Mais especificamente, se para algum vetor , então , assumindo que . Isso mostra uma correspondência direta entre os autovetores de e quando .
Resposta
Quando , as matrizes e têm o mesmo polinômio característico e, portanto, compartilham os mesmos autovalores. Além disso, existe uma correspondência direta entre os autovetores de e .