12
Sejam
. Mostre que
. Se
, então AB e BA possuem o mesmo polinômio característico. O que se pode dizer sobre os autovetores?
Sejam
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes,
de dimensão
e
de dimensão
. O objetivo é mostrar que o determinante de
é igual a
vezes o determinante de
. Além disso, se
, queremos saber o que podemos dizer sobre os autovetores de
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de determinantes e teoria de matrizes, especialmente sobre polinômios característicos e autovetores.
Passo 2
Vamos começar lembrando que o polinômio característico de uma matriz
é dado por
, onde
é a matriz identidade. Queremos relacionar os polinômios característicos de
e
.
Passo 3
Primeiro, observamos que
é uma matriz de dimensão
, enquanto
é de dimensão
. Para conectar seus determinantes, consideramos o teorema que relaciona os determinantes de produtos de matrizes retangulares.
Passo 4
Usando o fato de que
e
têm os mesmos autovalores não nulos, sabemos que os determinantes de
e
estão relacionados. Especificamente, o determinante de
terá um fator adicional de
elevado à diferença de dimensões, que é
.
Passo 5
Assim, temos:
Isso mostra a relação entre os determinantes dos polinômios característicos de
e
.
Passo 6
Agora, se
, as matrizes
e
são quadradas de mesma dimensão. A igualdade do determinante implica que elas têm o mesmo polinômio característico, ou seja, as mesmas raízes e, portanto, os mesmos autovalores.
Passo 7
Quanto aos autovetores, se
,
e
não apenas compartilham os mesmos autovalores, mas seus autovetores também estão relacionados. Mais especificamente, se
para algum vetor
, então
, assumindo que
. Isso mostra uma correspondência direta entre os autovetores de
e
quando
.
Resposta
Quando
, as matrizes
e
têm o mesmo polinômio característico e, portanto, compartilham os mesmos autovalores. Além disso, existe uma correspondência direta entre os autovetores de
e
.