Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(b) l5 x+8 y+6 z=-2 3 x+4 y+5 z=-2 x+2 y+3 z=-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
5x + 8y + 6z = -2 3x + 4y + 5z = -2 x + 2y + 3z = -3
Esse método nos ajuda a simplificar o sistema passo a passo até achar os valores das variáveis. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esse sistema em uma matriz aumentada, que é uma forma prática para aplicar as operações de eliminação. A matriz aumentada fica assim:
5 & 8 & 6 & | & -2 3 & 4 & 5 & | & -2 1 & 2 & 3 & | & -3
A ideia é transformar essa matriz em uma forma onde fique mais fácil resolver as variáveis, eliminando uma por uma.

Passo 3

Vamos começar eliminando o Linha 2 = Linha 2 - (35 times Linha 1) das equações abaixo da primeira. Para isso, vamos usar a primeira linha como referência.
Primeiro, vamos eliminar o 3 - (35 times 5) = 0 4 - (35 times 8) = 4 - 245 = -45 5 - (35 times 6) = 5 - 185 = 75 -2 - (35 times -2) = -2 + 65 = -45 da segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 0 & -45 & 75 & | & -45 e subtraímos da segunda linha:
Fazendo as contas:
Então, a segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 - (15 times Linha 1) da terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 1 - (15 times 5) = 0 2 - (15 times 8) = 2 - 85 = 25 3 - (15 times 6) = 3 - 65 = 95 -3 - (15 times -2) = -3 + 25 = -135 e subtraímos da terceira linha:
0 & 25 & 95 & | & -135
Calculando:
A terceira linha fica:

Passo 5

Agora, nossa matriz fica assim:
5 & 8 & 6 & | & -2 0 & -45 & 75 & | & -45 0 & 25 & 95 & | & -135
Vamos simplificar as frações multiplicando as segunda e terceira linhas por 5 para facilitar:
5 & 8 & 6 & | & -2 0 & -4 & 7 & | & -4 0 & 2 & 9 & | & -13

Passo 6

Agora, vamos eliminar o Nova Linha 2 = -12 times Linha 2 da terceira linha usando a segunda linha. Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por 0 times -12 = 0 -4 times -12 = 2 7 times -12 = -72 -4 times -12 = 2 para que o coeficiente de 0 & 2 & -72 & | & 2 na segunda linha seja o mesmo em valor absoluto que na terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Nova Linha 2
Calculando:
0 - 0 = 0 2 - 2 = 0 9 - (-72) = 252 -13 - 2 = -15
Então, a nova segunda linha é:
0 & 0 & 252 & | & -15
Agora, subtraímos a nova segunda linha da terceira linha para eliminar o :
Calculando:
A terceira linha fica:

Passo 7

Nossa matriz agora está:
5 & 8 & 6 & | & -2 0 & 2 & -72 & | & 2 0 & 0 & 252 & | & -15
Vamos simplificar a terceira linha dividindo por 252 z = -15 z = -15 div 252 = -15 times 225 = -3025 = -65 para encontrar o valor de :
Então, .

Passo 8

Com o valor de 2y - 72 times (-65) = 2 2y + 4210 = 2 2y + 215 = 2 encontrado, vamos substituir na segunda linha para achar 2y = 2 - 215 = 105 - 215 = -115 y = -1110 :
Subtraindo de ambos os lados:
Então, .

Passo 9

Agora, com 5x + 8 times (-1110) + 6 times (-65) = -2 5x - 8810 - 365 = -2 5x - 445 - 365 = -2 5x - 805 = -2 5x - 16 = -2 e 5x = 14 x = 145 conhecidos, substituímos esses valores na primeira linha para encontrar :
Somando 16 aos dois lados:
Então, .

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 145, y = -1110, z = -65

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