Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
Esse método nos ajuda a simplificar o sistema passo a passo até achar os valores das variáveis. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esse sistema em uma matriz aumentada, que é uma forma prática para aplicar as operações de eliminação. A matriz aumentada fica assim:
A ideia é transformar essa matriz em uma forma onde fique mais fácil resolver as variáveis, eliminando uma por uma.
Passo 3
Vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira. Para isso, vamos usar a primeira linha como referência.
Primeiro, vamos eliminar o da segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:
Fazendo as contas:
Então, a segunda linha fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha:
Calculando:
A terceira linha fica:
Passo 5
Agora, nossa matriz fica assim:
Vamos simplificar as frações multiplicando as segunda e terceira linhas por 5 para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos eliminar o da terceira linha usando a segunda linha. Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por para que o coeficiente de na segunda linha seja o mesmo em valor absoluto que na terceira linha:
Calculando:
Então, a nova segunda linha é:
Agora, subtraímos a nova segunda linha da terceira linha para eliminar o :
Calculando:
A terceira linha fica:
Passo 7
Nossa matriz agora está:
Vamos simplificar a terceira linha dividindo por para encontrar o valor de :
Então, .
Passo 8
Com o valor de encontrado, vamos substituir na segunda linha para achar :
Subtraindo de ambos os lados:
Então, .
Passo 9
Agora, com e conhecidos, substituímos esses valores na primeira linha para encontrar :