Considere o sistema
(b) Justifique que o sistema pode ser resolvido por inversão e determine a solução por esse método.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares com três variáveis:
O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de sistemas lineares pelo método da matriz inversa. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante para garantir que ela tem inversa, encontrar a matriz inversa e, finalmente, multiplicar essa inversa pela matriz dos termos constantes para achar as soluções de e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e a matriz dos termos constantes :

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a matriz tem inversa, ou seja, se ela é inversível. Para isso, calculamos o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, podemos prosseguir.
Como , a matriz tem inversa e podemos usar o método da inversão para resolver o sistema.

Passo 4

Vamos encontrar a matriz inversa . A fórmula geral para a inversa de uma matriz envolve os cofatores, o adjunto e a divisão pelo determinante.
Primeiro, calculamos a matriz dos cofatores de :
Em seguida, transponemos essa matriz para obter o adjunto :
Finalmente, dividimos pelo determinante para achar :

Passo 5

Agora, multiplicamos a matriz inversa pela matriz dos termos constantes para encontrar a solução :
Calculando cada componente:
Para :
Para :
Para :

Resposta

A solução do sistema pelo método da inversão é:

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