Considere o sistema lx+2 y+3 z=24 2 x+y+3 z=48 3 x+2 y+z=60
(b) Justifique que o sistema pode ser resolvido por inversão e determine a solução X por esse método.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares com três variáveis:
x + 2y + 3z = 24 2x + y + 3z = 48 3x + 2y + z = 60
O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de sistemas lineares pelo método da matriz inversa. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante para garantir que ela tem inversa, encontrar a matriz inversa e, finalmente, multiplicar essa inversa pela matriz dos termos constantes para achar as soluções de e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 3 & 2 & 1 , B = 24 48 60 e a matriz dos termos constantes :

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a matriz det(A) = 1 times (1 times 1 - 3 times 2) - 2 times (2 times 1 - 3 times 3) + 3 times (2 times 2 - 1 times 3) tem inversa, ou seja, se ela é inversível. Para isso, calculamos o determinante de det(A) = 1 times (1 - 6) - 2 times (2 - 9) + 3 times (4 - 3) . Se o determinante for diferente de zero, podemos prosseguir.
det(A) = 1 times (-5) - 2 times (-7) + 3 times 1
det(A) = -5 + 14 + 3 = 12
Como , a matriz tem inversa e podemos usar o método da inversão para resolver o sistema.

Passo 4

Vamos encontrar a matriz inversa Cof(A) = (1 times 1 - 3 times 2) & -(2 times 1 - 3 times 3) & (2 times 2 - 1 times 3) -(2 times 1 - 3 times 2) & (1 times 1 - 3 times 3) & -(1 times 2 - 2 times 3) (2 times 2 - 1 times 3) & -(1 times 2 - 2 times 3) & (1 times 1 - 2 times 2) . A fórmula geral para a inversa de uma matriz Cof(A) = -5 & 7 & 1 4 & -8 & 4 1 & 4 & -3 envolve os cofatores, o adjunto e a divisão pelo determinante.
Primeiro, calculamos a matriz dos cofatores de adj(A) = -5 & 4 & 1 7 & -8 & 4 1 & 4 & -3 :
A^-1 = 1det(A) times adj(A) = 112 times -5 & 4 & 1 7 & -8 & 4 1 & 4 & -3
A^-1 = -512 & 13 & 112 712 & -23 & 13 112 & 13 & -14
Em seguida, transponemos essa matriz para obter o adjunto :
Finalmente, dividimos pelo determinante para achar :

Passo 5

Agora, multiplicamos a matriz inversa X = A^-1 cdot B = -512 & 13 & 112 712 & -23 & 13 112 & 13 & -14 cdot 24 48 60 pela matriz dos termos constantes x = -512 times 24 + 13 times 48 + 112 times 60 = -10 + 16 + 5 = 11 para encontrar a solução y = 712 times 24 - 23 times 48 + 13 times 60 = 14 - 32 + 20 = 2 :
z = 112 times 24 + 13 times 48 - 14 times 60 = 2 + 16 - 15 = 3
Calculando cada componente:
Para :
Para :
Para :

Resposta

A solução do sistema pelo método da inversão é:
X = x y z = 11 2 3

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