Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
© 2 x+y+z & =1 x-y+z & =0 3 x+y+3 z & =2 4 x+y+5 z & =-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O que isso significa é que vamos manipular as equações para simplificar e encontrar os valores das incógnitas , e . Precisaremos organizar as equações em uma matriz aumentada e usar operações de linhas para chegar a uma forma mais simples. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma de matriz aumentada. Cada linha representa uma equação e cada coluna, uma variável, com a última coluna sendo os resultados das equações.
2 & 1 & 1 & | & 1 1 & -1 & 1 & | & 0 3 & 1 & 3 & | & 2 4 & 1 & 5 & | & -3

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos são zeros. Para isso, vamos usar operações de linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por uma constante e adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar o das outras linhas.

Passo 4

Vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 para facilitar. Dividimos a primeira linha por 2:
1 & 0.5 & 0.5 & | & 0.5 1 & -1 & 1 & | & 0 3 & 1 & 3 & | & 2 4 & 1 & 5 & | & -3

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 1 & 0.5 & 0.5 & | & 0.5 0 & -1.5 & 0.5 & | & -0.5 0 & -0.5 & 1.5 & | & 0.5 0 & -1 & 3 & | & -5 das outras linhas subtraindo a primeira linha apropriada de cada uma.
  • Linha 2:
    , , ,
  • Linha 3:
    , , ,
  • Linha 4:
    , , ,
A matriz fica assim:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a segunda linha para facilitar. Podemos multiplicar a segunda linha por 1 & 0.5 & 0.5 & | & 0.5 0 & 1 & -13 & | & 13 0 & -0.5 & 1.5 & | & 0.5 0 & -1 & 3 & | & -5 para deixar o coeficiente de igual a 1.

Passo 7

Com o 1 & 0.5 & 0.5 & | & 0.5 0 & 1 & -13 & | & 13 0 & 0 & 43 & | & 23 0 & 0 & 83 & | & -143 já facilitado na segunda linha, vamos eliminar o das outras linhas usando a segunda linha.
  • Linha 3:
    , ,
  • Linha 4:
    , ,
A matriz agora está:

Passo 8

Vamos simplificar a terceira linha dividindo por 1 & 0.5 & 0.5 & | & 0.5 0 & 1 & -13 & | & 13 0 & 0 & 1 & | & 12 0 & 0 & 83 & | & -143 :

Passo 9

Agora, vamos eliminar o Linha4 - 83 times Linha3 da quarta linha usando a terceira linha:
83 times 1 = 83, -143 - 83 times 12 = -143 - 43 = -183 = -6
Calculando:
0 0 0 | -6
A quarta linha fica:

Passo 10

Agora, nossa matriz está na forma:
1 & 0.5 & 0.5 & | & 0.5 0 & 1 & -13 & | & 13 0 & 0 & 1 & | & 12 0 & 0 & 0 & | & -6
Observamos que a última equação é , o que é impossível. Isso significa que o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema não possui solução; é um sistema inconsistente.

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