Obtenha a fórmula explícita da transformação linear , tal que e verifique se .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a fórmula explícita de uma transformação linear . Isso significa que queremos descobrir como transforma qualquer vetor tridimensional. Para isso, vamos usar os vetores que a gente já sabe como atua: , e . Além disso, depois vamos verificar se o vetor está no Núcleo de (ou seja, se ).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como vai de para , a matriz de será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Nosso objetivo é descobrir os valores de .
Passo 3
Agora, vamos usar as informações que temos para montar equações. Quando aplicamos A 3 2 -1 = 7 0 0 a um vetor, isso é equivalente a multiplicar a matriz 3a + 2b - c = 7 3d + 2e - f = 0 3g + 2h - i = 0 por esse vetor. Então, temos:
Para A 1 1 0 = 0 0 0 :
a + b = 0 d + e = 0 g + h = 0
Isso resulta nas equações:
A -1 0 0 = 0 2 0
Para - a = 0 - d = 2 - g = 0 :
Isso dá:
Para :
E isso resulta em:
Passo 4
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Primeiro, da última parte:
- a = 0 Rightarrow a = 0 - d = 2 Rightarrow d = -2 - g = 0 Rightarrow g = 0
Agora, usando 0 + b = 0 Rightarrow b = 0 e sabendo que -2 + e = 0 Rightarrow e = 2 :
0 + h = 0 Rightarrow h = 0
Da mesma forma, 3a + 2b - c = 7 3(0) + 2(0) - c = 7 Rightarrow -c = 7 Rightarrow c = -7 e 3d + 2e - f = 0 3(-2) + 2(2) - f = 0 Rightarrow -6 + 4 - f = 0 Rightarrow -2 - f = 0 Rightarrow f = -2 :
3g + 2h - i = 0 3(0) + 2(0) - i = 0 Rightarrow -i = 0 Rightarrow i = 0
E para com :
Agora, voltamos às primeiras equações:
Para a primeira linha:
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:
Passo 5
Agora que encontramos todos os valores, podemos escrever a matriz A = 0 & 0 & -7 -2 & 2 & -2 0 & 0 & 0 :
T(x, y, z) = A x y z = 0x + 0y -7z -2x + 2y -2z 0x + 0y + 0z = -7z -2x + 2y -2z 0
Então, a transformação linear é dada por:
Passo 6
Por último, vamos verificar se o vetor T(-2, -1, 1) = -7(1) -2(-2) + 2(-1) -2(1) 0 = -7 4 -2 -2 0 = -7 0 0 está no Núcleo de , ou seja, se .
Aplicando a transformação:
Como , o vetor não está no Núcleo de .
Resposta
A transformação linear T(x, y, z) = -7z -2x + 2y -2z 0 é dada por: